| 1- Groupes, actions de groupes |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Consolider les notions abordées en première année: groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, groupe symétrique; introduire quelques notions de base sur les actions de groupes.
- Étudier les groupes quotients Z/nZ et les groupes cycliques.
a) Groupes Z/nZ
Structure des sous-groupes de Z.
Relation de congruence modulo un entier n > 0, notation a º b modulo n. Compatibilité avec l'addition; groupe quotient Z/nZ, morphisme canonique de Z sur Z/nZ. Générateurs du groupe Z/nZ.
Tout autre exemple de groupe quotient est hors programme.
Étant donné un élément a d'un groupe G, morphisme k® ka (ou k® ak) du groupe Z dans G; noyau et image d'un tel morphisme. Le sous-groupe de G engendré par a est isomorphe à Z si ce noyau est réduit à {0}; il est isomorphe à Z/nZ si ce noyau est nZ.
Définition d'un groupe cyclique G (groupe fini admettant un générateur a); isomorphisme de Z/nZ sur G, où n est l'ordre de G. Application au groupe Un des racines n-ièmes de l'unité.
b) Groupes, action d'un groupe sur un ensemble
Il s'agit d'introduire quelques notions de base sur les groupes et les actions de groupes et de les mettre en oeuvre sur les groupes figurant au programme (groupe symétrique Sn, groupe linéaire, groupe orthogonal et leurs sous-groupes), en relation étroite avec l'algèbre linéaire et la géométrie. Il convient notamment d'étudier des exemples simples de réalisations géométriques de groupes finis par des groupes d'isométries.
Définition du produit de deux groupes.
Définition d'une partie génératrice d'un groupe.
Définition d'une action (ou opération) (g,x)® gx d'un groupe G sur un ensemble E; morphisme de G dans le groupe S(E) associé. Définition d'une orbite.
L'étude générale des groupes et des actions de groupe, ainsi que celle des groupes finis, est hors programme.
| 2- Anneaux et corps |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Consolider et approfondir les notions d'arithmétique abordées en classe de première année, notamment grâce à l'étude des idéaux de Z et des anneaux Z/nZ.
- Consolider et approfondir les notions sur les polynômes à une indéterminée abordées en classe de première année, notamment grâce à l'étude des idéaux de K[X], et de la structure de la sous-algèbre d'une algèbre unitaire engendrée par un élément de cette algèbre.
Les notions d'anneau quotient et d'anneau principal sont hors programme.
a) Idéaux d'un anneau commutatif
Définition d'un morphisme d'anneaux, d'un isomorphisme.
Noyau et image d'un morphisme d'anneaux commutatifs. Définition d'un idéal d'un anneau commutatif A.
Définition de l'idéal Ax (ou xA) engendré par un élément x de A.
Dans un anneau intègre A, définition de la relation de divisibilité x|y.
Pour que x divise y, il faut et il suffit que Ay Ì Ax.
b) Idéaux de Z, anneau Z/nZ
Structure des idéaux de Z. Application au théorème de Bézout et au théorème de Gauss.
Caractérisation du PGCD et du PPCM de deux entiers.
Dans l'anneau Z, compatibilité de la relation de congruence modulo n avec la multiplication; anneau Z/nZ, morphisme canonique de Z sur Z/nZ. Caractérisation des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ.
L'anneau Z/pZ est un corps si et seulement si p est un nombre premier.
Factorisation d'un morphisme de l'anneau Z dans un anneau A, lorsque le noyau contient nZ.
Définition de la caractéristique d'un corps.
c) Idéaux de K[X]
Dans ce paragraphe, on suppose que le corps de base K est un sous-corps de C.
Les anneaux quotients de l'anneau K[X] sont hors programme.
Structure des idéaux de K[X]. Application au théorème de Bézout et au théorème de Gauss.
Caractérisation du PGCD et du PPCM de deux polynômes.
Étant donnée une K-algèbre E, morphisme P® P(a) de K[X] dans E défini par un élément a de E. L'image de ce morphisme est la sous-algèbre K[a] engendrée par a. Le noyau de ce morphisme est l'idéal des polynômes annulateurs de a.
Lorsque cet idéal n'est pas réduit à zéro, polynôme minimal p de a.
Si l'algèbre E est intègre, le polynôme p est irréductible.
Cet idéal n'est pas réduit à {0} si et seulement si K[a] est de dimension finie. La dimension de K[a] est alors égale au degré r de p; plus précisément, la famille an, où 0 £ n < r, est une base de K[a].
Dans ces conditions, P(a) est inversible si et seulement si P est premier avec p. L'inverse de P(a) appartient alors à K[a].
Lorsque E est intègre, K[a] est un corps.
| Travaux pratiques |
§ Exemples d'étude de problèmes de divisibilité dans Z, d'emploi d'idéaux de Z, de congruences et de calculs dans Z/nZ.
En dehors du cas de Z/pZ, aucune connaissance spécifique sur les corps finis n'est exigible des étudiants.
Exemples d'étude de problèmes de divisibilité dans K[X] et d'emploi d'idéaux de K[X].