Le programme est organisé autour de quatre objectifs.

- Consolider les acquis de la classe de première année: étude des concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, applications linéaires, sous-espaces vectoriels supplémentaires et projecteurs, algèbres); étude des concepts fondamentaux relatifs aux espaces vectoriels de dimension finie (bases, dimension, rang, déterminants, calcul matriciel) et à la géométrie affine réelle (sous-espaces affines, barycentres, applications affines).

- Étudier de nouveaux concepts: somme directe de sous-espaces vectoriels, dualité, trace d'un endomorphisme, équivalence des matrices, formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques.

- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes linéaires issus de l'algèbre (étude des systèmes linéaires, des polynômes, des algèbres; interpolation, équations aux différences finies) et de l'analyse (récurrences linéaires et équations différentielles linéaires, en relation avec l'étude des systèmes dynamiques linéaires).

- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et applications linéaires, points et applications affines) et le point de vue matriciel.

Il convient d'étudier conjointement l'algèbre linéaire et la géométrie affine et, dans les deux cas, d'illustrer les notions et les résultats par de nombreuses figures.

1. Espaces vectoriels, applications linéaires
2. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
3. Travaux pratiques

1- Espaces vectoriels, applications linéaires

Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont définis sur un sous-corps K de C.

a) Bases, sommes directes

Définition d'une combinaison linéaire de vecteurs (x_i)_{i Î I} d'un espace vectoriel E indexés par un ensemble I.

Définition d'une famille libre, d'une famille liée, d'une famille génératrice, d'une base de E; coordonnées (ou composantes) d'un vecteur dans une base.

Il s'agit d'une brève extension des notions limitées en première année au cas d'un ensemble I fini. Tout théorème général d'existence de bases et de sous-espaces supplémentaires en dimension quelconque est hors programme.

Base canonique de l'espace vectoriel K[X].

Algèbre des fonctions polynomiales sur Rⁿ ou Cⁿ; base canonique de cette algèbre.

Étant donnés un espace vectoriel E muni d'une base (e_i)_{i Î I} et une famille (f_i)_{i Î I} de vecteurs d'un espace vectoriel F, il existe une application linéaire u de E dans F et une seule telle que u(e_i)=f_i.

La donnée d'une famille de p vecteurs (x₁,x₂,¼,x_p) d'un K-espace vectoriel E détermine une application linéaire u de K^p dans E; noyau et image de cette application; caractérisation de la bijectivité, de l'injectivité et de la surjectivité de u.

Somme directe de sous-espaces vectoriels: définition de la somme åE_i d'une famille finie (E_i)_{i Î I} de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E; définition d'une somme directe ÅE_i d'une telle famille. Cas des sous-espaces vectoriels supplémentaires.

Dans l'espace vectoriel K[X], le sous-espace vectoriel K[X] P constitué des multiples d'un polynôme P de degré n+1 admet pour supplémentaire le sous-espace vectoriel K_n[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Lorsque E est de dimension finie et que la somme åE_i est directe,

dim  Å i  Ei= å i  dim Ei.

Alors, pour que E=ÅE_i, il faut et il suffit que

dimE= å i  dim Ei.

Lorsque E=ÅE_i alors, pour toute famille u_i d'appplications linéaires de E_i dans un espace vectoriel F, il existe une application linéaire u de E dans F et une seule telle que, pour tout i, u_i soit la restriction de u à E_i.

Famille (p_i) de projecteurs de E associée à une décomposition E=ÅE_i; relations p_i²=p_i, p_ip_j=0 si j ¹ i et I_{[   || E]}=åp_i.

Définition d'une base d'un espace vectoriel E de dimension finie adaptée à un sous-espace vectoriel F de E, à une décomposition en somme directe E=ÅE_i.

b) Image et noyau d'une application linéaire

Une application linéaire u de E dans F définit un isomorphisme de tout supplémentaire E¢ de Ker u sur Im u.

Application à l'interpolation de Lagrange: détermination des polynômes P prenant des valeurs données sur une famille (a₀,a₁,¼,a_n) d'éléments de K distincts deux à deux.

Soit u l'application de K[X] dans Kⁿ⁺¹ définie par u(P)=(P(a₀),P(a₁),¼,P(a_n)). Le noyau de u est constitué des multiples du polynôme N=Õ(X-a_j); en outre, u définit un isomorphisme de K_n[X] sur Kⁿ⁺¹.

Étant donnés un sous-espace vectoriel E¢ de E et deux sous-espaces supplémentaires F₁ et F₂ de E¢ dans E, le projecteur de E sur F₁ parallèlement à E¢ définit un isomorphisme de F₂ sur F₁.

Définition d'un sous-espace vectoriel E¢ de codimension finie dans E, d'un hyperplan. Lorsque E est de dimension finie,

dimE¢+codim E¢=dimE.

Lorsque F est de dimension finie, définition du rang d'une application linéaire u de E dans F. Alors Ker u est de codimension finie dans E et

rg(u)=dim Im u=codim keru.

Lorsque E est de dimension finie, relation

dimIm u+dimkeru=dimE;

caractérisation des isomorphismes à l'aide du rang. Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.

Définition de l'espace dual E^* d'un espace vectoriel E.

Forme bilinéaire canonique (j,x)®  < j,x > sur E^*×E.

Étant donnée une forme linéaire j sur E non nulle, le sous-espace vectoriel H=kerj est un hyperplan de E; toute forme linéaire y nulle sur H est colinéaire à j.

Équations d'un hyperplan.

c) Dualité en dimension finie

Les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe sont de dimension finie. La notion d'espace bidual est hors programme.

Étant donné un vecteur e non nul d'un espace vectoriel E de dimension finie n, il existe une forme linéaire j sur E telle que j (e)=1.

Le vecteur nul est le seul vecteur de E sur lequel toute forme linéaire s'annule.

Formes linéaires coordonnées (j₁,j₂,¼,j_n) associées à une base B=(e₁,e₂,¼,e_n) de E. Les formes linéaires coordonnées constituent une base B^* de E^*, appelée base duale de B. La dimension de E^* est égale à n.

Dans ces conditions, B et B^* vérifient les relations d'orthogonalité de Kronecker

ji(ej)=dij

où   d_i^j=1 si j=i   et   d_i^j=0 sinon.

La donnée d'une famille (e₁,e₂,¼,e_p) d'éléments de E définit une application linéaire u de E^* dans K^p.

Si (e₁,e₂,¼,e_n) est une base de E, u est un isomorphisme.

Le noyau de u est constitué des formes linéaires s'annulant sur les vecteurs e_j.

Pour que (e₁,e₂,¼,e_p) soit libre, il faut et il suffit que u soit surjective; dans ces conditions, keru est de codimension p et tout vecteur x de E sur lequel les éléments de keru s'annulent est combinaison linéaire des vecteurs e_j.

Application à l'obtention d'une famille d'équations d'un sous-espace vectoriel ou d'un sous-espace affine de E.

La donnée d'une famille (j₁,j₂,¼,j_p) de formes linéaires sur un espace vectoriel E de dimension n définit une application linéaire u de E dans K^p.

Le noyau de u est l'intersection des noyaux respectifs H_i des formes linéaires j_i.

Si (j₁,j₂,¼,j_n) est une base de E^*, u est un isomorphisme.

Dans ces conditions, il existe une base (e₁,e₂,¼,e_n) de E et une seule dont (j₁,j₂,¼,j_n) est la base duale.

Pour que (j₁,j₂,¼,j_p) soit libre, il faut et il suffit que u soit surjective; dans ces conditions, keru est de codimension p dans E et toute forme linéaire j s'annulant sur keru est combinaison linéaire des formes linéaires j_i.

Application à l'étude de l'intersection d'une famille (H₁,H₂,¼,H_p) d'hyperplans de E.

e) Trace d'un endomorphisme

Trace d'une matrice carrée; linéarité de la trace, relations Tr AB = Tr BA, Tr PMP^-1=Tr M. Trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.

Le rang d'un projecteur est égal à sa trace.

f) Calcul matriciel et systèmes d'équations linéaires

Définition des matrices équivalentes; caractérisation de l'équivalence des matrices à l'aide du rang.

Toute matrice M de rang r est équivalente à la matrice J_r=(a_i,j), où a_j,j=1 si 1 £ j £ r, et a_i,j=0 sinon.

Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice; interprétation en termes de produits matriciels. Application à la recherche du rang d'une matrice, à la résolution des systèmes linéaires, à la recherche de l'inverse d'une matrice carrée, au calcul des déterminants.

Application de la dualité à l'étude d'un système d'équations linéaires j_i(x)=b_i.

Interprétation géométrique.

2- Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques

L'objectif de ce chapitre est double:

- Introduire les concepts de forme bilinéaire symétrique et de forme quadratique.

- En dimension finie, étudier la décomposition en carrés d'une forme quadratique et ses applications à l'algèbre.

Dans ce chapitre, le corps de base est R.

a) Formes bilinéaires symétriques

Espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur un R-espace vectoriel E. Espace vectoriel des formes quadratiques associées; polarisation.

Définition des formes bilinéaires symétriques positives, des formes quadratiques positives; inégalité de Cauchy-Schwarz. Cas des formes définies positives.

b) Réduction d'une forme quadratique

Dans ce paragraphe, les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie. Les notions d'orthogonalité et de vecteur isotrope sont hors programme.

Matrice associée à une forme bilinéaire symétrique (à une forme quadratique) dans une base de E.

Définition du rang d'une forme bilinéaire symétrique (d'une forme quadratique); définition d'une forme non dégénérée.

Effet d'un changement de base sur cette matrice; définition des matrices congruentes.

Décomposition en carrés (méthode de Gauss). Interprétation matricielle. Signature d'une forme quadratique, théorème d'inertie de Sylvester.

La démonstration du théorème d'inertie n'est pas exigbile des étudiants.

Travaux pratiques

Exemples d'étude de l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Exemples de construction de bases et de sous-espaces vectoriels supplémentaires, et d'emploi de bases, de supplémentaires, de sommes directes et de changements de bases, notamment pour l'étude des équations linéaires.

Exemples d'emploi de la dualité.

Il convient d'exploiter les espaces vectoriels d'endomorphismes, de matrices, de polynômes, de suites et de fonctions.

§ Exemples d'étude de problèmes d'interpolation linéaire.

§ Exemples d'étude de systèmes d'équations linéaires.

Il convient de valoriser les interventions en géométrie.

§ Emploi des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice à coefficients numériques pour la résolution des systèmes de Cramer par l'algorithme du pivot partiel, le calcul de déterminants, l'inversion des matrices.

§ Exemples d'obtention et d'emploi de la décomposition en carrés d'une forme quadratique.