Cette partie est organisée autour de quatre objectifs:

- Consolider les acquis de la classe de première année sur le produit scalaire, les espaces vectoriels euclidiens et la géométrie euclidienne du plan et de l'espace.

- Étudier de nouveaux concepts: somme directe orthogonale de sous-espaces vectoriels; dans un espace euclidien, adjoint d'un endomorphisme, réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques, réduction d'une forme quadratique dans une base orthonormale; notions sur les espaces préhilbertiens complexes et les espaces hermitiens.

- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs, endomorphismes autoadjoints, automorphismes orthogonaux) et le point de vue matriciel.

- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes issus de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie.

Il convient d'étudier conjointement les espaces vectoriels euclidiens et la géométrie euclidienne du plan et de l'espace et, dans les deux cas, d'illustrer les notions et les résultats par de nombreuses figures.

1. Espaces préhilbertiens réels
2. Espaces euclidiens
3. Espaces préhilbertiens complexes, espaces hermitiens
4. Travaux pratiques

1- Espaces préhilbertiens réels

L'objectif est de consolider et approfondir les notions de base abordées en classe de première année: produit scalaire, norme et distance associées, orthogonalité, sous-espaces supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux, sommes directes orthogonales.

a) Produit scalaire

Produit scalaire sur un R-espace vectoriel; définition d'un espace préhilbertien réel. Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire; norme et distance associées.

Relations entre produit scalaire et norme, polarisation.

L'étude de ces notions doit être illustrée par de nombreux exemples, notamment le produit scalaire canonique de Rⁿ et les produits scalaires usuels sur les espaces de suites et de fonctions.

b) Orthogonalité

Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal F^° (ou F^{^}) d'un sous-espace vectoriel F de E.

Familles orthogonales, familles orthonormales; relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux.

Somme directe orthogonale d'une famille finie de sous-espaces vectoriels.

Projecteurs orthogonaux associés à une décomposition de E en somme directe orthogonale.

2- Espaces euclidiens

Ce chapitre est organisé autour de quatre objectifs:

- Consolider l'étude des espaces vectoriels euclidiens (bases orthonormales, automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales) et de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace (distances, angles, isométries, déplacements, similitudes directes du plan).

- Étudier la projection orthogonale d'un vecteur d'un espace préhilbertien réel (de dimension finie ou non) sur un sous-espace vectoriel de dimension finie.

- Étudier le concept d'adjoint d'un endomorphisme.

- Étudier la réduction des endomorphismes autoadjoints d'un espace vectoriel euclidien et ses applications à la réduction des formes quadratiques sur un tel espace.

a) Bases orthonormales

Définition d'un espace vectoriel euclidien: espace préhilbertien réel de dimension finie.

Existence de bases orthonormales, complétion d'une famille orthonormale en une base orthonormale.

Existence d'une base orthonormale adaptée à un drapeau.

Isomorphisme de E sur l'espace dual E^*.

Toute forme linéaire f sur un espace vectoriel euclidien E s'écrit de manière unique sous la forme f(x)=(a|x) où a est un vecteur de E.

Expressions dans une base orthonormale des coordonnées et de la norme d'un vecteur, du produit scalaire de deux vecteurs, de la distance de deux points, de la trace et du déterminant d'un endomorphisme.

La donnée d'une base orthonormale d'un espace vectoriel euclidien E de dimension n détermine un isomorphisme de Rⁿ (muni du produit scalaire canonique) sur E.

b) Projections orthogonales

Dans un espace préhilbertien réel E (de dimension finie ou non), l'orthogonal F^° d'un sous-espace vectoriel F de dimension finie est un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel, appelé supplémentaire orthogonal de F; définition de la projection orthogonale p_{[   || F]}(x) d'un vecteur x de E sur F. En outre,

codim F°=dim F   et   F°°=F.

Expression de p_{[   || F]}(x) lorsque F est muni d'une base orthonormale (e₁,e₂,¼,e_n):

p[   || F](x)= n å j=1  (ej|x) ej.

Définition de la distance d (x,F) d'un élément x de E à F. Expression de cette distance à l'aide de p_{[   || F]}(x): la fonction qui, à tout élément z de F associe ||x-z|| atteint son minimum en un point et un seul, à savoir p_{[   || F]}(x); relation

||x||2=||p[   || F](x)||2+d (x,F)2.

Inégalité de Bessel:

n å j=1  |(ej|x)|2 £ ||x||2.

c) Adjoint d'un endomorphisme

Dans ce paragraphe, les espaces vectoriels considérés sont euclidiens.

Définition de l'adjoint u^* d'un endomorphisme u de E par la relation (u^*(x)|y)=(x|u(y)); existence et unicité de l'adjoint. Noyau, image et rang de l'adjoint:

keru*=(Im u)°,   Im u*=(keru)°,   rg(u*)=rg(u).

Matrice associée à u^* dans une base orthonormale. Relations Tr (u^*)=Tr (u) et det(u^*)=det(u).

L'application u® u^* est un automorphisme involutif de l'espace vectoriel L(E); relation (uv)^*=v^*u^*.

Pour qu'un sous-espace vectoriel F de E soit stable par un endomorphisme u, il faut et il suffit que F^° soit stable par u^*.

Définition d'un endomorphisme autoadjoint (ou symétrique) par la relation (u(x)|y)=(x|u(y)). Les endomorphismes autoadjoints constituent un sous-espace vectoriel de L(E).

Caractérisation par la relation u^*=u. Caractérisation des projecteurs orthogonaux par les relations p²=p et p^*=p.

Définition d'un endomorphisme autoadjoint positif par la relation (u(x)|x) ³ 0, d'un endomorphisme autoadjoint défini positif.

Pour tout endomorphisme u, u^*u et uu^* sont autoadjoints positifs. Cas où u est un automorphisme.

Automorphismes orthogonaux, groupe orthogonal O (E). Rotations, groupe spécial orthogonal SO (E).

Caractérisation des automorphismes orthogonaux par la relation u^*u=uu^*=I_{[   || E]}.

Étant donnés deux vecteurs unitaires distincts a et b de E, écriture de la réflexion s_a,b échangeant a et b sous la forme

sa,b(x)=x-2 (e|x) e,

où e est le vecteur unitaire associé à b-a.

Étant données deux droites distinctes D=Ra et D¢=Rb de E, les réflexions échangeant D et D¢ sont s_a,b et s_a,-b.

Caractérisation d'un endomorphisme autoajoint, d'un automorphisme orthogonal, à l'aide de la matrice associée dans une (toute) base orthonormale.

Cas d'un endomorphisme autoadjoint positif, défini positif; définition des matrices symétriques positives, définies positives.

d) Réduction des endomorphismes autoadjoints

Étant donné un endomorphisme autoadjoint u d'un espace euclidien E, cet espace est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de u; en particulier, u est diagonalisable dans une base orthonormale.

Spectre d'un endomorphisme autoadjoint positif, défini positif.

Diagonalisation d'une matrice symétrique au moyen d'une matrice orthogonale.

Endomorphisme autoadjoint associé à une forme bilinéaire symétrique (ou à une forme quadratique) sur un espace euclidien E; réduction de cette forme dans une base orthonormale de E.

3- Espaces préhilbertiens complexes, espaces hermitiens

L'objectif est triple:

- Étendre au cas du corps des nombres complexes la notion de produit scalaire, de norme associée et de somme directe orthogonale.

- Étendre au cas des espaces vectoriels hermitiens les notions concernant les espaces vectoriels euclidiens: bases orthonormales, projection orthogonale.

- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique et le point de vue matriciel.

a) Espaces préhilbertiens complexes

Produit scalaire (x,y)® (x|y) sur un C-espace vectoriel (linéaire à droite, semi-linéaire à gauche); définition d'un espace vectoriel préhilbertien complexe. Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire; norme et distance associées.

Relations entre produit scalaire et norme:

||x+y||2=||x||2+||y||2+2 Re  (x|y), ||x-y||2=||x||2+||y||2-2 Re  (x|y), ||x+y||2+||x-y||2=2 (||x||2+||y||2) (identité du parallélogramme), ||x+y||2-||x-y||2=4 Re  (x|y), 4 (x|y)=||y+x||2-||y-x||2+i ||y+ix||2-i ||y-ix||2 (identité de polarisation).

L'étude de ces notions doit être illustrée par de nombreux exemples, et notamment:

- le produit scalaire canonique de Cⁿ;

- le produit scalaire canonique sur l'espace l² des suites de carré sommable;

- (f,g)®(f|g)=ò_[a,b][`f] g dans C([a,b]);

- (f,g)®(f|g)=[1/(2p)]ò_[0,2p][`f] g dans l'espace vectoriel C_2p des fonctions continues 2p-périodiques sur R à valeurs complexes.

Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal d'un sous-espace vectoriel.

Familles orthogonales, familles orthonormales; relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux, somme directe orthogonale d'une famille finie de sous-espaces vectoriels.

b) Espaces vectoriels hermitiens

Définition d'un espace vectoriel hermitien: espace préhilbertien complexe de dimension finie. Existence de bases orthonormales, complétion d'une famille orthonormale en une base orthonormale.

Toute forme linéaire f sur un espace vectoriel hermitien E s'écrit de manière unique sous la forme f(x)=(a|x) où a est un vecteur de E.

Dans un espace préhilbertien complexe E (de dimension finie ou non), existence du supplémentaire orthogonal F^° d'un sous-espace vectoriel F de dimension finie; définition de la projection orthogonale p_{[   || F]}(x) d'un vecteur x de E sur F. En outre,

codim F°=dim F   et   F°°=F.

Expression de p_{[   || F]}(x) lorsque F est muni d'une base orthonormale:

p[   || F](x)= n å j=1  (ej|x) ej.

Définition de la distance d (x,F) d'un élément x de E à F. Relation

||x||2=||p[   || F](x)||2+d (x,F)2.

Inégalité de Bessel.

Travaux pratiques

§ Exemples de construction et d'emploi de bases orthonormales et de supplémentaires orthogonaux. Orthonormalisation d'une famille libre par la méthode de Schmidt.

Il convient d'exploiter les espaces vectoriels Rⁿ et Cⁿ ainsi que les espaces vectoriels de polynômes, de suites et de fonctions.

Exemples de calcul et d'emploi de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, de la distance à un tel sous-espace.

Il convient notamment d'exploiter l'approximation des fonctions.

Exemples d'étude et d'emploi de suites de polynômes orthogonaux.

Aucune connaissance spécifique sur les propriétés des polynômes orthogonaux n'est exigible des étudiants.

Exemples de réduction d'endomorphismes et de matrices en base orthonormale.

Il convient de mettre en valeur les applications à l'analyse et à la géométrie euclidienne.

Recherche d'une équation réduite d'une conique définie par une équation cartésienne dans un repère orthonormal; exemples d'une telle recherche pour une quadrique.

Description des quadriques usuelles (en dimension 3) définies par une équation cartésienne réduite en repère orthonormal: ellipsoïdes, hyperboloïdes (à une nappe et à deux nappes), paraboloïdes (elliptiques et hyperboliques), cônes, cylindres (elliptiques, hyperboliques et paraboliques). Génération d'un hyperboloïde de révolution à une nappe et d'un paraboloïde hyperbolique par une famille de droites.

Les étudiants doivent savoir reconnaître sur l'équation réduite les éléments de symétrie et les quadriques de révolution. Aucune autre connaissance spécifique sur les quadriques n'est exigible.