Cette partie est organisée autour de quatre objectifs:
-Étudier les concepts élémentaires relatifs aux espaces vectoriels normés, en vue de fournir un cadre cohérent pour l'étude des suites, des séries et des fonctions.
- Étudier le comportement global et asymptotique d'une suite ou d'une fonction, en relation avec les systèmes dynamiques discrets ou continus.
- Décrire et mettre en oeuvre des algorithmes d'approximation d'un nombre ou d'un vecteur à l'aide de suites ou de séries et comparer leurs performances. Cette étude est menée en relation avec celle des fonctions et de l'algèbre linéaire, et avec les problèmes de mesure de grandeurs géométriques ou physiques.
- Exploiter les résultats de la théorie des fonctions pour l'étude de problèmes numériques (majorations d'expressions, problèmes d'optimisation, solutions d'équations numériques,¼).
| 1- Espaces vectoriels normés réels ou complexes |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Étudier les concepts de norme et de distance associée, de suite convergente, de topologie d'un espace vectoriel normé, de limite et de continuité d'une application.
- Introduire les notions de complétude et de compacité dans un espace vectoriel normé.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples issus de l'espace Kn, des espaces vectoriels d'endomorphismes, de matrices, de suites et de fonctions; en revanche, l'étude systématique des espaces vectoriels normés n'est pas un objectif du programme.
En ce qui concerne le comportement global et asymptotique d'une suite, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, convergence, divergence¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, vitesse de convergence ou de divergence par comparaison aux suites de référence usuelles, accélération de convergence¼).
De même, en ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) d'une fonction, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, existence de zéros, existence d'extrémums, existence de limites, continuité, dérivabilité¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, caractère lipschitzien, comparaison aux fonctions de référence au voisinage d'un point¼).
Les applications étudiées dans ce chapitre sont définies sur une partie A d'un espace vectoriel normé E et à valeurs dans un autre F. Les notions d'espace métrique et d'espace topologique sont hors programme.
Dans un souci d'unification, une propriété portant sur une fonction définie sur A est dite vraie au voisinage d'un point a si elle est vraie sur l'intersection de A avec un voisinage de a lorsque a est un point de E adhérent à A, avec le complémentaire d'une boule de centre 0 lorsque a est à l'infini, avec un intervalle ]c,+¥[ lorsque E=R et a=+¥, avec un intervalle ]-¥,c[ lorsque E=R et a=-¥.
a) Normes et distances
Définition d'une norme, notée x®||x|| ou x® N(x), sur un espace vectoriel E réel ou complexe; distance associée, notée (x,y)® d (x,y). Boules. Distance d'un point x de E à une partie A de E, notée d (x,A).
Vecteurs unitaires; vecteur unitaire associé à un vecteur non nul.
Les étudiants doivent connaître les normes N1, N2 et N¥ sur Kn et sur l'espace vectoriel C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles ou complexes, ainsi que les normes N1, N2 et N¥ définies respectivement sur les espaces l1, l2 et l¥.
Norme x®||x||=(x|x)1/2 associée à un produit scalaire (x,y)®(x|y) sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Relation
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Définition d'une partie bornée, d'une application bornée.
Espace vectoriel normé B(A,F) des applications bornées f de A dans F muni de la norme N¥(f)=supx||f(x)||.
Définition d'une application k-lipschitzienne, composée d'applications lipschitziennes.
Les applications x®||x|| et x® d (x,A) sont 1-lipschitziennes.
Définition de la norme induite sur un sous-espace vectoriel de E; définition de la distance induite sur une partie de E.
Définition du produit d'une famille finie d'espaces normés, muni de la norme N(x)=supiNi(xi).
Les applications coordonnées sont 1-lipschitziennes.
b) Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé
Suites convergentes, suites divergentes d'éléments d'un espace vectoriel normé E.
Opérations algébriques sur les suites convergentes.
Comparaison de deux normes N et N¢ sur E: pour que toute suite convergeant vers 0 au sens de N converge vers 0 au sens de N¢, il faut et il suffit qu'il existe un nombre réel a > 0 tel que N¢ £ a N. Normes équivalentes.
Les étudiants doivent savoir comparer notamment les normes usuelles mentionnées au paragraphe a).
Espace vectoriel normé l¥(E) des suites bornées d'éléments de E, muni de la norme N¥(u)=sup||un||. Sous-espace vectoriel des suites convergentes.
Convergence des suites d'un sous-espace vectoriel normé, d'un espace vectoriel normé produit.
Suites extraites d'une suite, définition d'une valeur d'adhérence. Valeurs d'adhérence d'une suite convergente. Toute suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence est divergente.
Aucune autre connaissance spécifique sur les valeurs d'adhérence n'est exigible des étudiants. Les notions de limites supérieure et inférieure sont hors programme.
Relations de comparaison entre suites: domination et négligeabilité pour une suite (un) à valeurs vectorielles et une suite (an) à valeurs réelles. Équivalence pour deux suites (un) et (vn) à valeurs vectorielles.
Notations un=O (an), un=o (an), un ~ vn.
c) Topologie d'un espace vectoriel normé
Définition des voisinages d'un point, des parties ouvertes, des parties fermées.
Réunion et intersection de parties ouvertes, de parties fermées.
Définition d'un point adhérent à une partie A, de l'adhérence [`A] de A; parties denses. Caractérisation de [`A] comme plus petite partie fermée contenant A. En particulier, A est fermée si et seulement si [`A]=A.
Définition d'un point intérieur à une partie A, de l'intérieur de A, d'un point frontière de A, de la frontière de A.
Aucune autre connaissance spécifique sur ces notions n'est exigible des étudiants et tout excès de technicité est exclu.
La notion de point d'accumulation est hors programme.
Caractérisation séquentielle des points adhérents, des parties fermées.
Définition des voisinages d'un point, des ouverts et des fermés relatifs à une partie A.
d) Étude locale d'une application, continuité
Limite d'une application: soit f une application d'une partie A de E à valeurs dans F et a un point de E adhérent à A. Étant donné un élément b de F, on dit que f admet b comme limite au point a si, pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément x de A, la relation ||x-a|| £ d implique la relation ||f(x)-b|| £ e; le vecteur b est alors unique, et on le note b=limaf ou b=limx® af(x). Lorsqu'un tel élément b existe, on dit que f admet une limite au point a. Interprétation en termes de voisinages.
Lorsque a appartient à A, f est dite continue au point a; alors b=f(a). Dans le cas contraire, f admet une limite en a si et seulement si f se prolonge par continuité en ce point.
Étant donnée une partie P de A et un point a de E adhérent à P, on dit que f admet une limite au point a selon P si la restriction de f à P admet une limite en a.
Dans le cas des fonctions d'une variable réelle, extension de cette définition lorsque a=+¥ ou a=-¥.
Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, extension lorsque b=+¥ ou b=-¥.
Extension au cas d'une variable vectorielle dont la norme tend vers l'infini.
Limite d'une application composée. Opérations algébriques sur les limites.
Limite d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel normé produit.
Limite de l'image d'une suite (un) admettant une limite a par une application f admettant une limite au point a.
Caractérisation séquentielle de l'existence d'une limite, de la continuité en un point.
Relations de comparaison en un point: domination et négligeabilité pour une fonction f à valeurs vectorielles et une fonction j à valeurs réelles. Équivalence pour deux fonctions f et g à valeurs vectorielles.
Notations f=O (j), f=o (j), f ~ g.
Applications continues. Continuité de la composée de deux applications continues, de la restriction d'une application continue, d'une fonction à valeurs dans un espace vectoriel normé produit. Opérations algébriques sur les applications continues.
Espace vectoriel C(A,F) des applications continues de A dans F, algèbre C(A) des fonctions à valeurs réelles ou complexes continues sur A.
Deux applications continues f et g de A dans F coïncidant sur une partie B de A dense dans A sont égales.
Les étudiants doivent savoir exploiter des raisonnements par densité pour établir des relations entre fonctions continues.
Image réciproque d'une partie ouverte, d'une partie fermée par une application continue.
Il convient de souligner l'intérêt de ces résultats pour démontrer qu'une partie est ouverte (ou fermée).
e) Applications linéaires continues
Caractérisation des applications linéaires continues d'un espace normé (E,N) dans un espace normé (F,N¢).
Caractérisation de l'équivalence de normes par la bicontinuité de l'application identique, par la conservation des parties ouvertes.
Pour qu'une application linéaire u de E dans F soit continue, il faut et il suffit qu'il existe un nombre réel k > 0 tel que, pour tout x, N¢(u(x)) £ k N(x); dans ces conditions, u est k-lipschitzienne.
Norme subordonnée à N et N¢ d'une application linéaire continue u de E dans F:
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Espace vectoriel normé L C(E,F) des applications linéaires continues de E dans F.
Définition d'une algèbre normée unitaire. Algèbre normée B(A,C) des applications bornées de A dans C.
Algèbre normée L C(E) des endomorphismes continus d'un espace vectoriel normé E.
Continuité d'une application bilinéaire B de E×F dans G satisfaisant à la relation
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La notion de norme d'une application bilinéaire est hors programme.
Continuité de l'application (l,x)®lx de K×E dans E, du produit scalaire sur un espace préhilbertien, de l'application (u,v)® uv dans une algèbre normée.
Continuité de (u,v)® uv dans l'algèbre normée L C(E).
f) Complétude, compacité
L'étude de la compacité en dimension quelconque n'est pas un objectif du programme; pour la pratique, il convient de se limiter aux espaces vectoriels de dimension finie.
Définition d'une suite de Cauchy d'éléments d'un espace normé. Définition d'un espace de Banach, d'un espace de Hilbert.
Les corps R et C (munis de la valeur absolue) sont complets; les espaces produits Rn et Cn le sont aussi.
Parties complètes d'un espace vectoriel normé.
Les parties complètes d'un espace de Banach sont les parties fermées.
Critère de Cauchy d'existence d'une limite en un point pour une application à valeurs dans un tel espace.
Définition (séquentielle) d'une partie compacte A d'un espace vectoriel normé E.
Une telle partie est fermée bornée. Toute partie fermée d'une partie compacte est compacte.
Si A est une partie compacte de E et B une partie compacte de F, alors A×B est une partie compacte de E×F.
Théorème de Bolzano-Weierstrass: de toute suite bornée d'éléments de R, de C, de Rn, de Cn on peut extraire une suite convergente.
Dans ces espaces, les parties compactes sont les parties fermées bornées.
Étant donnée une application continue f de A dans F, l'image par f d'une partie compacte de E incluse dans A est une partie compacte de F. Cas d'une fonction numérique continue sur un compact: existence d'extrémums.
Toute application continue sur un compact est bornée, et la borne supérieure de sa norme est atteinte.
Définition des applications uniformément continues. Continuité uniforme d'une application continue sur un compact.
La continuité uniforme constitue un outil important en analyse; en revanche, l'étude de ce concept n'est pas un objectif en soi.
| 2- Espaces vectoriels normés de dimension finie |
L'objectif de ce chapitre est d'établir l'équivalence des normes sur
un espace vectoriel normé de dimension finie, et d'en déduire les
propriétés de complétude et de compacité de tels espaces.
L'équivalence des normes montre que de nombreux concepts importants sont indépendants du choix d'une norme: parties bornées, applications bornées, applications lipschitziennes; parties ouvertes, parties fermées, adhérence, intérieur, limite et continuité d'une application, continuité uniforme; suites convergentes, parties compactes; suites de Cauchy, parties complètes. Par conséquent, pour toutes ces notions, il est légitime de se placer dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie (sans préciser une norme particulière).
a) Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie
Équivalence des normes sur un espace vectoriel E de dimension finie; parties bornées et topologie d'un tel espace.
Continuité des applications linéaires et multilinéaires définies sur de tels espaces. Caractérisation des applications continues à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie à l'aide d'une base de F.
Pour qu'une suite d'éléments de E converge, il faut et il suffit que ses coordonnées dans une base de E convergent; les coordonnées de la limite sont alors les limites des coordonnées.
Tout espace vectoriel normé E de dimension finie est un espace de Banach.
Les parties complètes de E sont les parties fermées.
Théorème de Bolzano-Weierstrass: dans un espace vectoriel normé E de dimension finie, les parties compactes sont les parties fermées bornées.
La partie constituée des élements d'une suite convergente et de sa limite est compacte.
Expression de la norme d'un endomorphisme u d'un espace euclidien en fonction du produit scalaire:
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En outre, lorsque u est autoadjoint positif,
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b) Connexité par arcs
Définition d'une partie connexe par arcs d'un espace normé E de dimension finie. Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles; toute partie convexe de E est connexe par arcs. Image continue d'une partie connexe par arcs.
Cas des fonctions à valeurs réelles continues sur une partie connexe par arcs: théorème des valeurs intermédiaires.
L'étude générale de la connexité est hors programme.
| 3- Séries d'éléments d'un espace vectoriel normé |
L'objectif de ce chapitre est triple:
- Étudier la convergence des séries de nombres réels positifs.
- Étudier la convergence des séries absolument convergentes à partir des résultats obtenus pour les séries de nombres réels positifs.
- Introduire le concept de suite sommable de nombres réels ou complexes.
Dans ce chapitre, le programme se place dans le cadre des séries d'éléments d'un espace vectoriel normé E de dimension finie.
a) Suites et séries
Série åun associée à une suite (un) d'éléments d'un espace vectoriel normé E de dimension finie, suite (sp) des sommes partielles de cette série.
Il convient de mettre en valeur et d'exploiter la correspondance bijective entre suites et séries.
Définition d'une série convergente et de sa somme, notée ån=0+¥un. Espace vectoriel des séries convergentes.
Si la série åun converge, un tend vers 0; la réciproque est fausse.
Caractérisation de la convergence à l'aide d'une base de E.
Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers zéro; majoration du reste.
Aucune autre connaissance spécifique sur les séries semi-convergentes n'est exigible des étudiants.
b) Séries de nombres réels positifs
Pour qu'une série åun de nombres réels positifs converge, il faut et il suffit que la suite (sp) des sommes partielles soit majorée. Alors ån=0+¥un=limpsp=suppsp.
Convergence des séries géométriques de nombres réels positifs, convergence des séries de Riemann.
Théorème de comparaison des séries de nombres réels positifs: soient (un) et (an) des suites de nombres réels positifs telles que un=O (an); alors la convergence de åan implique la convergence de åun.
Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une série géométrique, à une série de Riemann.
Développement décimal d'un nombre réel positif.
Comparaison logarithmique: si, pour tout entier n, un > 0 et an > 0, et si, à partir d'un certain rang,
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Comparaison logarithmique à une série géométrique: règle de d'Alembert.
c) Séries d'éléments d'un espace vectoriel normé de dimension finie
Critère de Cauchy pour la convergence d'une série d'éléments d'un espace vectoriel normé E de dimension finie.
Séries absolument convergentes d'éléments de E (c'est-à-dire telles que å||un|| < +¥). Toute série absolument convergente est convergente.
En outre, ||ån=0+¥un|| £ ån=0+¥||un||.
Série géométrique: étant donné une algèbre normée A de dimension finie ayant e pour élément unité et u un élément de A tel que ||u|| < 1, la série åun est absolument convergente, e-u est inversible dans A et (e-u)-1 = ån=0+¥un.
La série géométrique åzn, où z appartient à C, est absolument convergente si et seulement si |z| < 1; sa somme est alors égale à [1/(1-z)]. En outre, si |z| ³ 1, cette série diverge.
Série exponentielle: étant donné une algèbre normée A de dimension finie ayant e pour élément unité alors, pour tout élément u de A, la série å[(un)/n!] est absolument convergente; par définition,
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Exponentielle d'un nombre complexe, d'un endomorphisme d'espace vectoriel normé E de dimension finie, d'une matrice réelle ou complexe.
d) Suites sommables de nombres réels ou complexes
Une suite u=(un) de nombres réels positifs est dite sommable s'il existe un nombre réel positif M tel que, pour toute partie finie J de N, la somme partielle s[ || J](u)=å[ || (n Î J)]un soit majorée par M. Définition de la somme de la famille u par la relation
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S'il existe une suite croissante (Jn) de parties finies de N dont la réunion est égale à N et telle que, pour tout n, s[ || (Jn)](u) £ M, alors u est sommable.
Dans ces conditions, pour toute suite (Jn) du type précédent,
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Pour qu'une suite (un) de nombres réels positifs soit sommable, il faut et il suffit que la série åun converge; dans ces conditions, ån Î Nun=ån=0+¥un.
Une suite u=(un) de nombres réels ou complexes est dite sommable si la suite (|un|) l'est. Définition de la somme s(u)=åun: pour toute suite croissante (Jn) de parties finies de N dont la réunion est égale à N,
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Pour que u soit sommable, il faut et il suffit que la série åun converge absolument; dans ces conditions,
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Définition de l'espace vectoriel l1 des suites sommables, muni de la norme u® N1(u)=ån Î N|un|.
Définition de l'espace vectoriel l2 des suites de carré sommable, muni du produit scalaire (u,v)®(u|v)=ån Î N[`u]nvn et de la norme N2 associée.
| 4- Suites et séries de fonctions |
L'objectif de ce chapitre est de définir les modes usuels de
convergence ponctuelle des suites et séries de fonctions (convergence
simple, convergence uniforme, convergence uniforme sur tout compact,
convergence normale d'une série) et d'exploiter ces types de convergence
pour étudier la stabilité des propriétés des fonctions par passage à la
limite et l'approximation d'une fonction par des fonctions plus simples.
Il convient de souligner que, le plus souvent, la convergence simple ne suffit pas pour assurer la régularité de la limite d'une suite de fonctions. En revanche, l'étude systématique des différents modes de convergence des suites et des séries d'applications n'est pas un objectif du programme.
Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont définies sur une partie A d'un espace vectoriel E de dimension finie et, sauf mention explicite du contraire, à valeurs réelles ou complexes.
a) Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale
Étant donnée une suite (fn) de fonctions définies sur une partie A de E à valeurs réelles ou complexes, définition de la convergence simple sur A, de la convergence uniforme sur A, de la convergence uniforme sur tout compact de E contenu dans A.
Définitions correspondantes pour une série de fonctions.
Si (fn) converge vers f uniformément sur A et si, pour tout n, fn est bornée sur A, alors f l'est aussi.
Pour les fonctions bornées, la convergence uniforme peut être interprétée à l'aide de la norme N¥ sur l'espace B(A).
Soit a un point de A; si (fn) converge vers f uniformément sur A et si, pour tout n, fn est continue au point a, alors f l'est aussi.
Extension de ce résultat au cas où a est adhérent à A (ou, lorsque E=R, aux cas où a=+¥ et a=-¥) et où, pour tout n, fn admet une limite bn en a.
Si (fn) converge vers f uniformément sur tout compact inclus dans A et si, pour tout n, fn est continue sur A, f l'est aussi. Continuité de la somme d'une série de fonctions continues uniformémement convergente sur tout compact.
Lorsque A est une partie compacte de E, l'espace vectoriel C(A) des applications continues sur A est un sous-espace vectoriel fermé de B(A) muni de la norme N¥.
Une série åfn de fonctions définies sur A est dite normalement convergente sur A si la série numérique å||fn||¥ est convergente. Convergence normale sur tout compact.
Pour établir la convergence normale de åfn, il convient d'utiliser une série numérique convergente åan majorante, c'est-à-dire telle que, pour tout n, ||fn||¥ £ an.
Toute série åfn normalement convergente sur A est absolument et uniformément convergente sur A.
Alors, N¥(ån=0+¥fn) £ ån=0+¥N¥(fn).
Extension des notions et résultats précédents au cas des suites et séries d'applications d'une partie A de E à valeurs dans un espace vectoriel normé F de dimension finie.
Dans une algèbre normée A de dimension finie, continuité de u®(e-u)-1 sur la boule unité ||u|| < 1; continuité de u®expu sur A.
b) Approximation des fonctions d'une variable réelle
Dans ce paragraphe, les applications considérées sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie.
Définition d'une fonction j à valeurs dans F en escalier sur [a,b], d'une subdivision de [a,b] subordonnée à j. Espace vectoriel des fonctions en escalier sur un segment.
Espace vectoriel des fonctions en escalier sur R (par définition, ces fonctions sont nulles en dehors d'un segment).
Définition d'une fonction à valeurs dans F continue par morceaux sur [a,b]. Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur [a,b].
Une fonction est dite continue par morceaux sur un intervalle I quelconque si sa restriction à tout segment est continue par morceaux.
Approximation uniforme sur [a,b] des fonctions à valeurs dans F continues par morceaux sur [a,b] par des fonctions en escalier sur [a,b], des fonctions continues sur [a,b] par des fonctions continues affines par morceaux sur [a,b].
Approximation uniforme sur [a,b] des fonctions à valeurs complexes continues sur [a,b] par des fonctions polynomiales. Approximation uniforme sur R des fonctions à valeurs complexes continues périodiques par des polynômes trigonométriques (complexes).
La démonstration des théorèmes de Weierstrass n'est pas exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples d'obtention de majorations et de minorations d'expressions réelles ou du module d'expressions complexes; exemples d'emploi pour l'étude de suites et de fonctions.
Pour l'ensemble des travaux pratiques sur les suites, il convient d'exploiter l'étude de systèmes dynamiques discrets.
§ Exemples d'étude du comportement global et asymptotique de suites de nombres réels, de nombres complexes. Exemples de méthodes d'accélération de convergence.
Il convient d'entraîner les étudiants à exploiter la comparaison aux suites de référence et à classer des ordres de grandeur.
§ Exemples d'étude de suites de nombres réels ou complexes définies par une relation de récurrence un+1=f(un) et d'emploi d'une telle suite pour l'approximation d'un point fixe a de f.
Pour étudier la vitesse de convergence de un vers a, les étudiants doivent savoir exploiter le comportement local de f au voisinage de a et, notamment, une inégalité du type lipschitzien |f(x)-f(a)| £ k |x-a| où 0 £ k < 1, ou du type |f(x)-f(a)| £ l |x-a|2.
Exemples d'espaces vectoriels normés de suites et de fonctions; exemples d'applications linéaires continues ou discontinues. Exemples de calcul et de comparaison de normes.
Cas des espaces vectoriels normés d'applications linéaires ou de matrices, cas des algèbres normées de dimension finie.
§ Exemples d'étude de séries numériques et de séries d'éléments d'un espace vectoriel normé de dimension finie.
Cas des séries d'endomorphismes ou de matrices.
§ Exemples d'obtention et d'emploi d'approximations uniformes de fonctions d'une variable réelle.
Exemples d'étude de problèmes d'extrémums.