Le programme est organisé autour de quatre objectifs:

- Consolider les acquis de première année concernant la dérivation et l'intégration des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes.

- Étendre ces résultats au cas des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles.

- Étudier l'intégration et la dérivation des suites et séries de fonctions à valeurs vectorielles.

- Effectuer une étude élémentaire des fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.

Aussi bien pour l'étude locale que pour l'étude globale des fonctions, le programme combine de manière indissociable les outils du calcul différentiel et du calcul intégral.

1. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
2. Intégration sur un segment des fonctions à valeurs vectorielles
3. Dérivation et intégration
4. Intégration sur un intervalle quelconque
5. Courbes d'un espace vectoriel normé de dimension finie
6. Travaux pratiques

1- Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles

L'objectif de ce chapitre est double:

- Consolider les acquis de première année concernant la dérivation des fonctions à valeurs réelles ou complexes: dérivation en un point, propriétés globales des fonctions de classe C^k, fonctions convexes.

- Étudier la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles.

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie sur R\ ou sur C.

a) Dérivée en un point, fonctions de classe C¹

Définition de la dérivabilité d'une fonction f définie sur un intervalle I en un point a de I: dérivée, dérivée à gauche, à droite.

Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter l'interprétation cinématique et graphique de la notion de dérivée en un point.

Définition de la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I, application dérivée; application de classe C¹ sur un intervalle I.

Notations f¢, Df, [df/dx].

Espace vectoriel C¹(I,F) des applications de classe C¹ sur I, linéarité de la dérivation, dérivée d'une application de la forme u(f) où u est une application linéaire, dérivée d'une application de la forme B(f,g), où B est une application bilinéaire.

Lorsque F est un espace préhilbertien, dérivation du produit scalaire (f|g), du carré de la norme ||f||₂; lorsque e est un vecteur unitaire, orthogonalité de e et de De.

Caractérisation de la dérivabilité d'une fonction f à valeurs dans F à l'aide d'une base de F.

Les coordonnées de Df sont les dérivées des coordonnées de f.

Cas d'une fonction f à valeurs complexes: pour que f soit de classe C¹, il faut et il suffit que [`f] le soit, ou encore que Re f et Im f le soient.

Dans ces conditions,

D( _ f   )= Df   ,   Df=D(Re f)+i D(Im f).

Caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions continues sur I et dérivables sur l'intérieur de I.

b) Fonctions de classe C^k

Définition des applications de classe C^k sur un intervalle I (k entier naturel ou k=+¥).

Notations f^(k), D ^kf, [(d^kf)/(dx^k)].

Espace vectoriel C^k(I,F) des applications de classe C^k sur I à valeurs dans F, où 0 £ k £ +¥. Algèbre C^k(I) des fonctions de classe C^k sur I à valeurs réelles ou complexes.

Dérivée k-ième du produit de deux fonctions (formule de Leibniz).

La composée f°j d'une application f de classe C^k sur I et d'une fonction j de classe C^k sur un intervalle J à valeurs dans I est de classe C^k sur J.

Définition d'un C^k-difféomorphisme de J sur I (k ³ 1).

Une fonction j de classe C^k sur un intervalle J (k ³ 1) est un C^k-difféomorphisme de J sur I=j(J) si et seulement si, pour tout élément t de J, j¢(t) ¹ 0.

c) Fonctions de classe C^k par morceaux

Une application f à valeurs dans F est dite de classe C^k par morceaux sur un segment [a,b], où 1 £ k £ +¥, s'il existe une subdivision (a₀,a₁,¼,a_n) de [a,b] telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]a_i,a_i+1[ soit prolongeable en une fonction de classe C^k sur [a_i,a_i+1].

Une fonction f est dite de classe C^k par morceaux sur un intervalle I quelconque si sa restriction à tout segment est de classe C^k par morceaux.

Les dérivées successives de f sont définies sur [a,b] privé d'une partie finie; elles sont notées D ^jf.

Si f est continue sur I et de classe C¹ par morceaux sur I, f est constante si et seulement si Df=0.

Il convient de mettre en valeur le cas usuel des fonctions de classe C^k sur I et C^k+1 par morceaux sur I.

2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs vectorielles

L'objectif de ce chapitre est triple:

- Consolider les acquis de première année concernant l'intégration des fonctions à valeurs réelles ou complexes.

- Étendre la notion d'intégrale aux fonctions à valeurs vectorielles continues par morceaux sur un segment.

- Étudier l'intégration sur un segment des suites et séries de fonctions continues; introduire les convergences en moyenne et en moyenne quadratique et les comparer à la convergence uniforme.

Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment J=[a,b] à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie sur R ou sur C. La notion de fonction intégrable au sens de Riemann est hors programme.

a) Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Définition de l'intégrale d'une application j en escalier sur un segment J. Notations ò_Jj, ò_[a,b]j. Linéarité de l'intégrale. Image de l'intégrale par une application linéaire.

Inégalité    ||ò_Jj|| £ ò_J||j||.

Définition de l'intégrale d'une application f continue par morceaux sur un segment J. Notations ò_Jf, ò_[a,b]f. Linéarité de l'intégrale. Invariance de l'intégrale par translation.

Inégalité    ||ò_Jf|| £ ò_J||f||.

Pour les fonctions à valeurs réelles, positivité et croissance de l'intégrale.

Une fonction f continue et à valeurs positives sur un segment [a,b] est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

Image de l'intégrale par une application linéaire. Expression de l'intégrale à l'aide d'une base de F.

Pour une fonction f à valeurs complexes, intégrale de [`f], de Re f, de Im f.

Les intégrales de deux fonctions continues par morceaux coïncidant sauf sur une partie finie de J sont égales.

Définition de l'intégrale d'une fonction f définie sur un segment [a,b] privé d'une subdivision S=(a₀,a₁,¼,a_n) de [a,b], lorsque la restriction de f à chacun des intervalles ouverts ]a_j,a_j+1[ est prolongeable en une fonction continue sur [a_j,a_j+1].

Si K est un segment contenu dans J, ò_Kf=ò_Jc_{[   || K]}f où c_{[   || K]} est la fonction caractéristique de K.

Additivité de l'intégrale par rapport à l'intervalle d'intégration.

Valeur moyenne d'une fonction. Inégalité de la moyenne

|| ó õ [a,b]  f|| £ ó õ [a,b]  ||f|| £ (b-a)  sup [a,b]  ||f||.

Les étudiants doivent savoir effectuer des majorations analogues pour des intégrales de la forme ò_[a,b]B(f,g), où B est une application bilinéaire. En revanche, toute formule ou égalité dite de la moyenne est hors programme.

Approximation de l'intégrale d'une application f continue sur [a,b] par une somme de Riemann: pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour toute subdivision S de [a,b] de pas inférieur ou égal à d et toute somme de Riemann R_S(f) associée à S,

|| ó õ [a,b]  f-RS(f)|| £ e.

Cas où f est k-lipschitzienne sur [a,b].

Étant donnée une application f continue par morceaux sur un intervalle I de R, définition de ò_a^bf(t) dt, où a et b appartiennent à I.

Linéarité. Inégalité de la moyenne. Relation de Chasles.

b) Intégration sur un segment des suites de fonctions continues

Norme de la convergence en moyenne f® N₁(f)=ò_[a,b]||f|| sur l'espace vectoriel C([a,b],F) des applications continues de [a,b] dans F. La convergence uniforme de (f_n) sur [a,b] implique la convergence en moyenne et, en outre,

ó õ [a,b]  lim n  fn= lim n  ó õ [a,b]  fn.

Inégalités

|| ó õ [a,b]  f|| £ N1(f) £ (b-a) N¥(f).

Intégration terme à terme d'une série d'applications continues: soit (f_n) une suite d'applications continues sur [a,b]. Si la série åf_n converge uniformément sur [a,b], la série des intégrales est convergente et

ó õ [a,b]  +¥ å n=0  fn = +¥ å n=0  ó õ [a,b]  fn.

Lorsque la convergence est normale sur [a,b], la série åN₁(f_n) est convergente et

N1 æ è +¥ å n=0  fn ö ø £ +¥ å n=0  N1(fn).

Produit scalaire (f,g)®ò_[a,b][`f] g sur l'espace vectoriel C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs complexes; inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme de la convergence en moyenne quadratique f®N₂(f)=(ò_[a,b]|f|²)^1/2. La convergence uniforme de (f_n) sur [a,b] implique la convergence en moyenne quadratique, qui implique elle-même la convergence en moyenne.

Inégalités

N2(f) £   ___ Öb-a     N¥(f),

N1(f) £   ___ Öb-a     N2(f).

3- Dérivation et intégration

L'objectif de ce chapitre est triple:

- Étendre aux fonctions à valeurs vectorielles le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, et exploiter ce théorème pour l'étude globale des fonctions de classe C¹ (théorème des accroissements finis) et pour les fonctions de classe C^k (formules de Taylor, théorème de relèvement).

- Étudier la primitivation des suites et séries de fonctions et appliquer les résultats obtenus à leur dérivation.

- Effectuer une étude élémentaire des fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie sur R ou sur C.

a) Primitives et intégrale d'une fonction continue

Définition d'une primitive g d'une application f continue sur un intervalle I.

Deux primitives d'une même application diffèrent d'une constante.

Extension de cette définition au cas où f est continue par morceaux sur I: g est continue sur I et de classe C¹ par morceaux sur I et, en tout point de continuité de f, g¢(x)=f(x).

Théorème fondamental: étant donnés une application f continue sur I et un point a de I,

- L'application x®ò_a^x f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a; pour toute primitive h de f sur I,

ó õ x a  f(t) dt=h(x)-h(a).

Extension au cas ou f est continue par morceaux sur I.

- Pour toute application f de classe C¹ sur I,

f(x)-f(a)= ó õ x a  f¢(t) dt.

Extension au cas ou f est continue sur I et de classe C¹ par morceaux sur I.

Formule d'intégration par parties pour des fonctions de classe C¹ sur I.

Extension aux fonctions continues sur I et de classe C¹ par morceaux sur I.

Changement de variable: étant données une fonction f continue sur I à valeurs dans F et une fonction j à valeurs dans I et de classe C¹ sur [a,b],

ó õ j(b) j(a)  f(t) dt = ó õ b a  f æ è j(u) ö ø  j¢(u) du.

Extension au cas où f est continue par morceaux sur I, lorsque j est strictement monotone sur [a,b].

Il convient de mettre en valeur l'intérêt de changements de variable affines, notamment pour exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener, par paramétrage du segment [a,b], au cas où l'intervalle d'intégration est [0,1] ou [-1,1].

b) Étude globale des fonctions de classe C¹

Inégalité des accroissements finis: soit f une application continue sur [a,b] et de classe C¹ sur ]a,b[. Si, pour tout élément t de ]a,b[, ||f¢(t)|| £ l, alors

||f(b)-f(a)|| £ l (b-a).

Les étudiants doivent connaître l'interprétation cinématique de ce résultat.

Extension au cas où f est continue sur I et de classe C¹ par morceaux sur [a,b].

Si f est continue sur [a,b], de classe C¹ sur ]a,b] et si f¢ a une limite finie en a, alors f est de classe C¹ sur [a,b].

Extension aux applications de classe C^k: si f est continue sur [a,b], de classe C^k sur ]a,b] et si, pour tout r Î [1,k], D ^rf admet une limite finie en a, alors f est de classe C^k sur [a,b].

c) Formules de Taylor

Pour une application f de classe C^k sur I et de classe C^k+1 par morceaux sur I, formule de Taylor à l'ordre k en un point a de I: expression intégrale du reste R_k. Majoration du reste R_k (inégalité de Taylor-Lagrange).

Décomposition f(x)=T_k(x)+R_k(x), où

Tk(x)= k å n=0  (x-a)n n!  D nf(a).

Développement limité d'une primitive d'une application continue; application au développement limité de la dérivée d'une application de classe C¹.

Existence d'un développement limité à l'ordre k pour une application de classe C^k: formule de Taylor-Young.

d) Théorème de relèvement

L'application q® e^iq définit une bijection continue de ]-p,p[ sur U privé de -1, dont l'application réciproque u®Arg u est continue; relation

Arg u=2 Arctg [y/(1+x)] où u=x+iy, x²+y²=1, x ¹ -1.

Lorsque u tend vers -1 en restant tel que Im u > 0 (resp. Im u < 0), Arg u admet pour limite p (resp. -p). En particulier, l'application u®Arg u ne se prolonge pas en une application continue sur U.

Théorème de relèvement d'une application de classe C^k à valeurs dans U, où k ³ 1.

Le cas des fonctions continues est hors programme.

e) Suites et séries de fonctions de classe C^k

Primitivation de la limite d'une suite de fonctions: soit a un point de I, (f_n) une suite d'applications continues sur un intervalle I à valeurs dans F et, pour tout n, h_n la primitive de f_n sur I telle que h_n(a)=0. Si (f_n) converge uniformément sur tout segment de I vers f, alors (h_n) converge uniformément sur tout segment de I vers la primitive h de f telle que h(a)=0.

Application aux séries de fonctions continues.

Il convient de mettre en valeur le fait que, pour tout segment [a,b] de I, pour toute application f continue par morceaux sur I et toute primitive h de f,

N¥(h) £ ||h(a)||+ ó õ [a,b]  ||f||.

Dérivation de la limite d'une suite de fonctions: soit (f_n) une suite d'applications de classe C¹ sur I convergeant simplement sur I vers f et telle que (f¢_n) converge uniformément sur tout compact de I vers h. Alors f est de classe C¹ sur I et f¢=h. Extension aux applications de classe C^k.

Il convient de mettre en valeur le fait que, pour tout segment [a,b] de I et pour toute application f de classe C¹ sur I,

N¥(f) £ ||f(a)||+ ó õ [a,b]  ||f¢||.

Dérivation terme à terme d'une série de fonctions: soit (f_n) une suite d'applications de classe C¹ sur I à valeurs dans F. Si la série åf_n converge simplement sur I et si la série åf_n¢ converge uniformément sur tout compact de I, alors la somme de la série åf_n est de classe C¹ sur I et

D  æ ç è +¥ å n=0  fn ö ÷ ø = +¥ å n=0  D fn.

Extension aux fonctions de classe C^k.

Étant donné un élément a d'une algèbre normée A de dimension finie, l'application e_a: t®expta est de classe C^¥ sur R et De_a=a e_a=e_a a.

Application à l'exponentielle d'un nombre complexe, d'un endomorphisme, d'une matrice.

f) Intégrales dépendant d'un paramètre

Continuité sous le signe ò: soit f une application continue sur A×[a,b], où A est une partie de R^m. Alors l'application g définie sur A par la relation g(x)=ò_a^bf(x,t) dt est continue sur A.

Extension au cas où f est continue sur A × I: l'application (u,v,x)®ò_u^vf(x,t) dt est continue sur I×I×A.

Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): lorsque A est un intervalle de R et que f est continue sur A×[a,b] et admet une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] continue sur A×[a,b], alors g est de classe C¹ sur A, et

g¢(x)= ó õ b a  ¶f ¶x  (x,t) dt.

Extension aux fonctions de classe C^k.

Intégration sous le signe ò (formule de Fubini): lorsque A est un intervalle de R et que f est continue sur A×[a,b], alors pour tout segment [c,d] inclus dans A

ó õ d c  é ë ó õ b a  f(x,t) dt ù û  dx= ó õ b a  é ë ó õ d c  f(x,t) dx ù û  dt.

La formule de Fubini est à relier à la notion d'intégrale double.

4- Intégration sur un intervalle quelconque

Ce chapitre est organisé autour de quatre objectifs:

- Étudier l'intégrabilité d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle, d'abord dans le cas des fonctions à valeurs positives, puis dans le cas des fonctions à valeurs réelles ou complexes.

- Étudier les suites et séries de fonctions intégrables, grâce aux théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée, qui constituent des outils puissants.

- Appliquer les résultats obtenus à l'étude des fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre.

- Exploiter la représentation des fonctions par des séries et des intégrales, en relation avec l'enseignement des autres disciplines scientifiques.

Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle I de R à valeurs réelles ou complexes. La notion de fonction intégrable au sens de Lebesgue est hors programme.

a) Fonctions intégrables à valeurs positives

Une fonction f à valeurs réelles positives continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable (ou sommable) sur I s'il existe un nombre réel positif M tel que, pour tout segment J contenu dans I, ò_J f £ M. On pose alors

ó õ I  f= sup J  ó õ J  f.

S'il existe une suite croissante (J_n) de segments dont la réunion est égale à I et telle que, pour tout n, ò_Jnf £ M, alors f est intégrable sur I. Dans ces conditions, pour toute suite (J_n) du type précédent

ó õ I  f= sup n  ó õ Jn  f= lim n  ó õ Jn  f.

Si f est continue par morceaux sur [a,b], f est intégrable sur [a,b], et son intégrale définie dans ce paragraphe coïncide avec l'intégrale définie au chapitre 2.

En outre, elle est intégrable sur ]a,b], [a,b[ et ]a,b[, et les quatre intégrales sont égales.

Opérations sur les fonctions continues par morceaux intégrables positives: somme, produit par un scalaire positif. Croissance: si f et g sont continues par morceaux sur I, si 0 £ f £ g et si g est intégrable, f l'est aussi et ò_If £ ò_Ig.

Une fonction f continue, positive et intégrable sur I est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

Si a appartient à I, f est intégrable sur I si et seulement si elle est intégrable sur I Ç ]-¥,a] et sur I Ç [a,+¥[.

Additivité de l'intégrale.

Caractérisation de l'intégrabilité de f sur [a,b[ à l'aide de la fonction x®ò_a^xf(t) dt.

Cas des fonctions définies sur ]a,b]. Intégrabilité de t®t^a sur [a,+¥[, sur ]0,a].

b) Fonctions intégrables à valeurs complexes

Une fonction f à valeurs réelles ou complexes continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable (ou sommable) sur I si |f| est intégrable. Définition de l'intégrale ò_If: pour toute suite croissante (J_n) de segments dont la réunion est égale à I

ó õ I  f= lim n  ó õ Jn  f.

Si f est continue par morceaux sur [a,b], f est intégrable sur [a,b], et son intégrale définie dans ce paragraphe coïncide avec l'intégrale définie au chapitre 2. En outre, elle est intégrable sur ]a,b], [a,b[ et ]a,b[, et les quatre intégrales sont égales.

Si f et j sont continues par morceaux, si |f| £ j et si j est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.

En particulier, si I est un intervalle borné et si f est bornée sur I, f est intégrable sur I.

Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux intégrables sur I. Linéarité de l'intégrale.

Inégalité    |ò_If| £ ò_I|f|.

Une fonction f à valeurs réelles continue par morceaux est intégrable sur I si et seulement si f⁺ et f^- le sont; alors,

      ò_If=ò_If⁺-ò_If^-,   ò_I|f|=ò_If⁺+ò_If^-.

Une fonction f à valeurs complexes continue par morceaux est intégrable sur I si et seulement [`f] l'est, ou si Re f et Im f le sont; alors,

      ò_I[`f]=[`(ò_If)],   ò_If=ò_IRe f+iò_IIm f.

Si I¢ est un intervalle contenu dans I et si f est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I¢ et ò_I¢f=ò_Ic_{[   || (I¢)]}f.

Additivité de l'intégrale par rapport à l'intervalle d'intégration.

Définition de ò_a^bf(t) dt, où a et b appartiennent à [`(R)] et a < b, lorsque f est intégrable sur ]a,b[. Cas où b < a. Relation de Chasles.

Emploi des relations de comparaison pour l'étude de l'intégrabilité. Étant données deux fonctions j et y à valeurs réelles positives, intégration des relations de comparaison: domination y = O (j), négligeabilité y = o (j), équivalence y ~ j au voisinage de +¥, au voisinage de a (cas des fonctions intégrables, cas des fonctions non intégrables).

Étant données une fonction f à valeurs réelles ou complexes et j une fonction intégrable à valeurs positives, intégration des relations de domination f=O (j) et de négligeabilité f=o (j).

Étant donnée une fonction f à valeurs réelles ou complexes continue par morceaux sur [a,b[, il peut arriver que f ne soit pas intégrable sur [a,b[, mais que la fonction x®ò_a^xf(t) dt admette une limite au point b; cette limite est encore notée, de manière impropre, ò_a^bf(t) dt.

Aucune connaissance spécifique sur les intégrales semi-convergentes n'est exigible des étudiants.

c) Convergence en moyenne, en moyenne quadratique

Les fonctions continues et intégrables sur I à valeurs complexes constituent un sous-espace vectoriel de C(I); norme de la convergence en moyenne f® N₁(f)=ò_I|f|.

Lorsque I est borné, la convergence uniforme implique la convergence en moyenne et, dans ces conditions, ò_Ilim_nf_n=lim_nò_If_n.

Une fonction continue à valeurs complexes f est dite de carré intégrable sur I si |f|² est intégrable sur I. Ces fonctions constituent un sous-espace vectoriel de C(I).

Le produit de deux fonctions continues f et g de carré intégrable sur I est intégrable sur I.

L'application (f,g)®(f|g)=ò_I[`f] g est un produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme de la convergence en moyenne quadratique f® N₂(f)=(ò_I|f|²)^1/2.

Inégalités

|(f|g)| £ N1(fg) £ N2(f) N2(g);

continuité du produit scalaire.

d) Théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée

Théorème de convergence monotone: soit (f_n) une suite croissante de fonctions à valeurs réelles continues par morceaux et intégrables sur I convergeant simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I. Alors f est intégrable sur I si et seulement si la suite (ò_If_n) est majorée. Dans ces conditions,

ó õ I  f= sup n  ó õ I  fn= lim n  ó õ I  fn.

Application à l'intégration terme à terme d'une série de fonctions continues par morceaux positives.

Lorsque la suite (f_n) converge vers f uniformément sur tout segment de I, la démonstration de ce théorème est exigible des étudiants. Dans le cas général, elle est hors programme.

Intégration terme à terme d'une série de fonctions: soit (f_n) une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes continues par morceaux et intégrables sur I telles que la série åf_n converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I. Alors si la série åò_I|f_n| converge, f est intégrable sur I et

N1 æ è +¥ å n=0  fn ö ø £ +¥ å n=0  N1(fn),    ó õ I  +¥ å n=0  fn= +¥ å n=0  ó õ I  fn.

Lorsque la série åf_n converge vers f uniformément sur tout segment de I, la démonstration de ce théorème est exigible des étudiants. Dans le cas général, elle est hors programme.

Il convient d'insister sur l'importance de l'hypothèse de convergence de la série åò_I|f_n|.

Théorème de convergence dominée: soit (f_n) une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes continues par morceaux et intégrables sur I et j une fonction continue par morceaux, positive et intégrable sur I. Si (f_n) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I et si, pour tout entier n, |f_n| £ j (hypothèse de domination), alors f est intégrable sur I et

ó õ I  f= lim n  ó õ I  fn.

Lorsque la suite (f_n) converge vers f uniformément sur tout segment de I, la démonstration de ce théorème est exigible des étudiants. Dans le cas général, elle est hors programme.

Il convient d'insister sur l'importance de l'hypothèse de domination.

e) Intégrales dépendant d'un paramètre

L'objectif est d'étendre les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe ò, déjà étudiés sur un segment, au cas d'un intervalle I quelconque dont l'origine et l'extrémité (prises dans [`(R)]) sont notées a et b. Les démonstrations de ces théorèmes ne sont pas exigibles des étudiants.

Continuité sous le signe ò: soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur A×I, où A est une partie de R^m telle que, pour tout élément x de A, la fonction t®f(x,t) soit intégrable sur I, et j une fonction continue positive intégrable sur I. Alors si pour tout élément (x,t) de A×I |f(x,t)| £ j(t) (hypothèse de domination), la fonction g définie sur A par la relation g(x)=ò_a^bf(x,t) dt est continue sur A.

Extension au cas où l'hypothèse de domination est vérifiée sur toute partie compacte contenue dans A.

Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): soit A un intervalle de R et f une fonction vérifiant les hypothèses du théorème précédent et admettant une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] vérifiant elle aussi ces mêmes hypothèses. Alors g est de classe C¹ sur A, et

g¢(x)= ó õ b a  ¶f ¶x  (x,t) dt.

Extension aux fonctions de classe C^k.

Définition de la fonction G sur ]0,+¥[ par la relation

G(x)= ó õ +¥ 0  e-ttx-1dt.

Relation fonctionnelle G(x+1)=x G(x).

Relations G(n+1)=n!, G(¹/₂)=Ö{p}.

La fonction G est de classe C^¥ sur ]0,+¥[ et, pour tout entier k,

DkG(x)= ó õ +¥ 0  (lnt)k e-ttx-1dt.

La démonstration de la relation G(¹/₂)=Ö{p} n'est pas exigible des étudiants.

5- Courbes d'un espace vectoriel normé de dimension finie

L'objectif de ce chapitre est double:

- Consolider l'étude des courbes planes abordée en classe de première année, tant du point de vue affine (étude locale et asymptotique) que métrique (abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure). Aucune connaissance sur l'expression de la courbure en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires n'est exigible des étudiants.

- Exploiter les résultats obtenus sur les fonctions à valeurs vectorielles pour l'étude cinématique et géométrique des courbes d'un espace vectoriel F de dimension finie. Dans l'espace de dimension 3, le repère de Frenet, la courbure et la torsion sont hors programme; il en est de même pour la cinématique du solide, dans le plan ou dans l'espace.

La démarche du programme est de partir du point de vue cinématique (donnée d'un paramétrage) et d'introduire ensuite la notion de propriété géométrique en étudiant l'effet d'un changement de paramétrage.

Dans ce chapitre, on considère des fonctions f à valeurs dans un espace vectoriel normé F de dimension finie, de classe C^k sur un intervalle I, où 1 £ k £ +¥.

a) Courbes paramétrées

Courbes paramétrées (ou arcs paramétrés) de classe C^k.

Interprétation cinématique: mouvement, vitesse, accélération.

Effet d'un changement de paramétrage, paramétrage admissible. Trajectoire d'un mouvement, orientation. Point régulier (à l'ordre 1).

Les changements de paramétrage sont supposés de classe C^k ainsi que leurs applications réciproques.

b) Étude locale d'un arc orienté G de classe C^k

Définition des demi-tangentes en un point A de G, de la tangente en un point A. Existence d'une tangente en un point régulier.

Dans le cas d'une courbe plane, cas d'un point A où l'un au moins des vecteurs dérivés successifs est non nul.

L'étude locale en un point où tous les vecteurs dérivés successifs sont nuls est hors programme.

c) Étude métrique d'un arc orienté

Dans ce paragraphe, on suppose que F est un espace vectoriel euclidien.

Pour un arc orienté G régulier à l'ordre 1, vecteur unitaire de la tangente. Définition d'une abscisse curviligne: fonction s de classe C¹ sur I telle que

s¢=||f¢||2.

L'abscisse curviligne est un paramétrage admissible. Paramétrage normal d'un arc.

La longueur d'un arc est définie à l'aide de l'abscisse curviligne. Aucune connaissance spécifique sur une définition géométrique de cette longueur n'est exigible des étudiants.

Travaux pratiques

Exemples d'emploi du calcul différentiel et intégral pour l'étude globale des fonctions.

Obtention de majorations et minorations de suites et de fonctions, recherche d'extrémums, inégalités de convexité¼

§ Exemples de méthodes de calcul de valeurs approchées d'intégrales et de comparaison de leurs performances.

La démarche consiste à subdiviser l'intervalle d'intégration et à approcher, sur chaque sous-intervalle, la fonction à intégrer par une fonction polynomiale.

Exemples d'étude de l'intégrabilité d'une fonction.

Exemples d'étude du comportement asymptotique au voisinage de +¥ d'une primitive d'une fonction continue sur [a,+¥[.

Il convient notamment d'exploiter l'intégration par parties.

Exemples d'étude d'une fonction définie comme limite d'une suite de fonctions ou comme somme d'une série de fonctions (continuité, dérivation, intégration¼).

Exemples d'étude d'une fonction définie par une intégrale dépendant d'un paramètre (transformées de Fourier, transformées de Laplace, intégrales eulériennes¼).

Il convient d'exploiter les représentations intégrales pour la recherche et l'étude de solutions d'équations différentielles linéaires.

§ Exemples d'étude de courbes paramétrées du plan ou de l'espace et d'emploi de paramétrages d'ensembles du plan ou de l'espace définis par des conditions géométriques.

Il convient d'exploiter le langage de la géométrie différentielle pour illustrer le comportement de systèmes dynamiques continus.

Exemples d'emploi d'une base orthonormale mobile pour le calcul de la dérivée d'une fonction vectorielle.

Aucun énoncé général sur la dérivation d'une base orthonormale mobile n'est exigible des étudiants.

Exemples d'étude de propriétés métriques de courbes planes (longueur d'un arc, repère de Frenet, courbure).

Exemples de recherche de courbes planes définies par une condition différentielle.