L'objectif de cette partie est d'étudier les systèmes différentiels
linéaires et d'introduire quelques notions sur le cas non linéaire, en
relation étroite avec la géométrie différentielle et les systèmes
dynamiques continus.
Il convient de relier cette étude à l'enseignement des autres disciplines scientifiques (systèmes mécaniques ou électriques gouvernés par une loi d'évolution et une condition initiale, traitement du signal). Il convient d'étudier le comportement du signal de sortie associé à différents types de signaux d'entrée et de dégager la signification de certains paramètres ou comportements: stabilité, régime permanent, oscillation, amortissement, fréquences propres, résonance. On peut alors être amené à étendre la notion de solution (fonction C1 ou C2 par morceaux).
| 1- Équations différentielles linéaires |
L'objectif de ce chapitre est triple:
- Étudier les équations linéaires d'ordre 1 à valeurs vectorielles, et leurs traductions en termes de systèmes d'équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1.
- Étudier le cas particulier d'une équation linéaire d'ordre 1 à coefficients constants, en relation avec l'exponentielle d'un endomorphisme et avec la réduction des endomorphismes.
- Étudier le cas particulier des équations linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2.
Les applications considérées dans cette partie sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans un espace vectoriel normé F de dimension finie sur R ou C.
a) Équations linéaires d'ordre 1
Définition d'une solution sur I de l'équation différentielle linéaire x¢=a(t) x+b(t) où a désigne une application continue de I dans L(F) et b une application continue de I dans F.
Traduction en termes matriciels, en termes de systèmes d'équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1.
Existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
La démonstration de ce théorème n'est pas exigible des étudiants.
Les solutions sur I de l'équation x¢=a(t) x constituent un sous-espace vectoriel E de C1(I). En outre, étant donné un élément a de I, l'application qui à tout élément f de E associe f(a) est un isomorphisme de E sur F.
En particulier, la dimension de E est égale à n=dimF.
Définition d'un système fondamental (e1,e2,¼,en) de l'équation x¢=a(t) x. Caractérisation d'un tel système; wronskien.
Application à la résolution de l'équation différentielle x¢=a(t) x+b(t) par la méthode de variation des constantes.
b) Équations linéaires à coefficients constants
Étude de l'équation x¢=a x, où a est un endomorphisme de F. L'unique solution sur R du problème de Cauchy x¢=a x, x(0)=e où e est un vecteur de F, est la fonction t®(expta) e. Relation expsa.expta=exp(s+t)a.
Expression intégrale de la solution de x¢=a x+b(t).
Traduction matricielle X¢=A X, où A est une matrice à éléments réels ou complexes.
c) Équations linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2
Équation a(t) x¢+b(t) x=c(t) où a, b et c sont continues sur I à valeurs réelles ou complexes.
Structure de l'espace des solutions lorsque a ne s'annule pas sur I.
Équation a(t) x¢¢+b(t) x¢+c(t) x=d(t) où a, b, c et d sont continues sur I à valeurs réelles ou complexes. Lorsque a ne s'annule pas sur I, système d'ordre 1 associé, existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy, structure de l'espace des solutions de l'équation homogène, systèmes fondamentaux de solutions, wronskien.
Application à la résolution de l'équation par la méthode de variation des constantes.
Expression des solutions dans le cas où l'on connaît une solution de l'équation homogène associée ne s'annulant pas sur I.
| 2- Notions sur les équations différentielles non linéaires |
L'objectif de ce chapitre est d'introduire quelques notions de base
sur les équations différentielles autonomes d'ordre 1 et les systèmes
différentiels autonomes d'ordre 2, et de les appliquer aux cas d'une
équation autonome d'ordre 2 et d'une équation non autonome d'ordre 1.
Il s'agit essentiellement de familiariser les étudiants avec le concept de système autonome et de mettre en oeuvre les résultats du cours sur des exemples simples. Aucune connaissance spécifique sur les propriétés des solutions maximales et des courbes intégrales n'est exigible des étudiants.
Il convient de valoriser les interprétations géométriques, en termes de courbes intégrales de champs de vecteurs du plan, en relation avec l'étude des systèmes dynamiques continus issus des autres sciences, et notamment la mécanique, la physique et l'automatique.
a) Systèmes différentiels autonomes
Définition d'une solution d'un système différentiel autonome d'ordre 2, de la forme x¢=f(x,y), y¢=g(x,y) où f et g sont des fonctions à valeurs réelles de classe C1 sur un ouvert U de R2. Invariance par translation. Définition d'une solution maximale. Interprétation géométrique: courbe intégrale d'un champ de vecteurs.
Cas d'une équation différentielle autonome d'ordre 1, de la forme x¢=f(x) où f est une fonction à valeurs réelles de classe C1 sur un intervalle I.
Système autonome d'ordre 2 associé à une équation différentielle autonome d'ordre 2, de la forme x¢¢=f(x,x¢), où f est à valeurs réelles de classe C1 sur un ouvert U de R2.
Existence et unicité locale d'une solution du problème de Cauchy.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
Prolongement d'une solution j en une borne a de son intervalle de définition lorsque j admet une limite b au point a, où b Î U.
Existence et unicité d'une solution maximale du problème de Cauchy; son intervalle de définition est ouvert.
b) Équations non autonomes
Définition d'une solution d'une équation différentielle de la forme x¢=f(t,x) où f est à valeurs réelles et de classe C1 sur un ouvert U de R2.
Existence et unicité d'une solution maximale du problème de Cauchy.
| Travaux pratiques |
§ Pratique de la résolution de l'équation X¢=A X, où A est une matrice à éléments réels ou complexes (par réduction de A à une forme diagonale ou triangulaire).
Exemples d'étude de solutions d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 ou 2.
§ Exemples d'étude d'équations associées à une forme différentielle exacte, d'équations à variables séparables.
Il convient d'étudier quelques exemples de raccordements de solutions.
Cas d'une équation autonome d'ordre 1, de la forme x¢=f(x).
§ Exemples de recherche et d'étude de courbes intégrales d'un champ de vecteurs dans le plan.