L'objectif de cette partie est triple:

- Consolider les acquis de première année: calcul différentiel et intégral portant sur les fonctions numériques de deux variables réelles.

- Étendre les notions de base du calcul différentiel aux applications continûment différentiables sur un ouvert de R^p à valeurs dans Rⁿ, en relation avec la géométrie différentielle et l'analyse vectorielle.

- Effectuer une étude élémentaire des formes différentielles de degré 1 (intégrales curvilignes, primitives) en relation avec l'étude des champs de vecteurs,la mécanique et la physique.

1. Calcul différentiel
2. Calcul intégral
3. Travaux pratiques

1- Calcul différentiel

L'objectif essentiel est d'étudier quelques notions de base: différentielle en un point, dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, applications continûment différentiables, difféomorphismes, gradient, points critiques, dérivées partielles d'ordre supérieur.

Les applications f considérées dans ce chapitre sont définies sur un ouvert U de E à valeurs dans F, où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie. Pour la pratique, le programme se limite au cas où dimE £ 3, dimF £ 3 et où f est de classe C¹. L'étude de fonctions différentiables non de classe C¹ est hors programme.

Pour l'étude d'une fonction f de plusieurs variables, il convient de mettre en valeur le fait que la plupart des problèmes peuvent se ramener au problème correspondant pour une fonction d'une variable en paramétrant le segment [a,a+h], ce qui permet d'écrire f(a+h)-f(a)=j_h(1)-j_h(0) où, pour tout t Î [0,1], j_h(t)=f(a+th).

a) Applications continûment différentiables

Définition d'une fonction f différentiable en un point a de U et de l'application linéaire tangente à f en a, appelée aussi différentielle de f au point a et notée df(a).

Interprétation en termes de développement limité de f à l'ordre 1.

Définition de la dérivée de f en un point a de U selon un vecteur h, notée D_hf(a). Définition des dérivées partielles dans une base de E, notées D_jf(a) ou [(¶f)/(¶x_j)](a).

Il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout t Î [-d,d], a+th appartienne à U; on pose alors j_h(t)=f(a+th). Si j_h est dérivable à l'origine, on dit que f admet une dérivée en a selon h, et l'on pose D_hf(a)=j_h¢(0).

Si f est différentiable au point a, elle est continue en ce point et admet des dérivées selon tout vecteur h; en outre,

df(a) (h)=Dhf(a).

Dans toute base de E,

df(a) (h)=Dhf(a)= p å j=1  hjDjf(a).

Définition des fonctions de classe C¹ (ou continûment différentiables) sur U: pour tout vecteur h de E, x®D_hf(x) est continue sur U.

Théorème fondamental: si, dans une base de E, les dérivées partielles D_jf sont continues sur U, alors f est différentiable en tout point a de U. En outre, f est de classe C¹ sur U.

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.

Si f est une application linéaire de E dans F, alors f est de classe C¹ sur E et, pour tout point a de E, df(a)=f.

Si f et g sont deux applications de classe C¹, leur composée g°f l'est aussi; différentielle de g°f. Définition d'un difféomorphisme de classe C¹. Opérations algébriques sur les applications de classe C¹.

Caractérisation d'une application f de classe C¹ sur U à valeurs dans F par ses coordonnées f_i dans une base de F; alors, pour tout h, les fonctions D_hf_i sont les coordonnées de D_hf.

Pour une application de classe C¹, matrice jacobienne associée à des bases de E et de F; lorsque E=F, jacobien.

Matrice jacobienne d'une application composée, d'une application réciproque.

Dérivée d'une fonction composée de la forme f°j, où j est une fonction de classe C¹ sur un intervalle I et à valeurs dans U.

Lorsque f est un difféomorphisme, l'image f(G) d'une courbe paramétrée G régulière à l'ordre 1 est une courbe régulière à l'ordre 1; détermination d'une tangente à f(G).

Caractérisation à l'aide du jacobien des difféomorphismes parmi les applications injectives de classe C¹.

La démonstration de ce résultat est hors programme.

b) Fonctions numériques continûment différentiables

Algèbre C¹(U) des fonctions de classe C¹ sur U.

Lorsque E est un espace euclidien, le gradient de f est défini par

df(a) (h)=Dhf(a)=(gradf(a)|h).

Expression du gradient dans une base orthonormale de E.

Lorque l'ouvert U est convexe, inégalité des accroissements finis pour une fonction numérique de classe C¹ sur U.

Caractérisation des fonctions constantes sur l'ouvert U.

Points critiques d'une fonction numérique de classe C¹; condition nécessaire d'existence d'un extrémum local.

c) Dérivées partielles d'ordre k ³ 2

Théorème de Schwarz pour une fonction de classe C² sur U.

Algèbre C^k(U) des fonctions de classe C^k sur U.

La démonstration du théorème de Schwarz est hors programme.

Les opérateurs différentiels D_h sont des applications linéaires de C^k(U) dans C^k-1(U), où 1 £ k < +¥.

Pour toute base de E,    D_h=å_j=1ⁿh_jD_j.

Pour une fonction numérique de classe C² sur un ouvert de R²: formule de Taylor-Young; étude de l'existence d'un extrémum local en un point critique où rt-s² ¹ 0.

d) Coordonnées polaires

Repère polaire ([u\vec],[v\vec]) du plan euclidien R² défini, pour tout nombre réel q, par:

® u    (q)=  cosq   ® e1   +sinq   ® e2   ,

® v    (q)=-sinq   ® e1   +cosq   ® e2

où ([(e₁)\vec],[(e₂)\vec]) est la base canonique de R².

Coordonnées polaires d'un point de R².

Relations

d  ® u   d q = ® v   ,    d  ® v   d q =- ® u   .

Expression des coordonnées du gradient d'une fonction à valeurs réelles f de classe C¹ en fonction des dérivées partielles de la fonction

(r,q)® F(r,q) = f(r cosq,r sinq).

e) Notions sur les courbes et les surfaces

Dans ce paragraphe, les courbes du plan ou de l'espace et les surfaces sont définies par paramétrages ou par équations cartésiennes. Aucune difficulté ne peut être soulevée sur l'équivalence de ces définitions.

L'objectif est double:

- Consolider les notions sur les courbes planes définies par une équation cartésienne F(x,y)=0 étudiées en première année: point régulier, tangente, normale.

- Étudier quelques notions sur les surfaces définies par un paramétrage ou par une équation cartésienne F(x,y,z)=0.

L'étude des courbes d'une surface définies par des conditions différentielles est hors programme.

Toutes les formes du théorème des fonctions implicites utiles pour traiter ce paragraphe sont admises.

Définition d'un point régulier d'une surface définie par paramétrage (u,v)® f(u,v), où f est de classe C¹ sur un ouvert U de R² à valeurs dans R³. Plan tangent, normale.

Tangente à l'intersection de deux surfaces en un point régulier où les deux plans tangents sont distincts.

Définition d'un point régulier d'une surface définie par une équation cartésienne de la forme F(x,y,z)=0, où F est à valeurs réelles et de classe C¹ sur un ouvert U de R³. Plan tangent, normale.

Position d'une surface donnée par z=f(x,y) par rapport au plan tangent en un point où rt-s² ¹ 0.

2- Calcul intégral

L'objectif de ce chapitre est double:

- Consolider les acquis de première année concernant les intégrales doubles à travers la pratique de problèmes.

- Éffectuer une étude élémentaire des formes différentielles de degré 1.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient d'effectuer une brève extension du calcul intégral aux intégrales triples mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.

a) Intégrales doubles

Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur les notions introduites dans ce paragraphe.

Intégrale double d'une fonction à valeurs réelles ou complexes définie et continue sur une partie compacte définie par des conditions simples (rectangles, secteurs circulaires¼).

Aucune connaissance sur l'intégration sur des parties non compactes n'est exigible des étudiants.

Formule de Fubini: expressions de l'intégrale double sur un rectangle à l'aide de deux intégrations successives.

Formule de changement de variables dans une intégrale double; cas du passage en coordonnées polaires.

La démonstration de ce résultat est hors programme.

b) Intégrales curvilignes

Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur la notion de forme différentielle.

Définition d'une forme différentielle w de degré 1 de classe C^k sur un ouvert U de R^p. Définition d'une primitive sur U d'une telle forme; définition d'une forme exacte sur U.

Interprétation en termes de champs de vecteurs.

Écriture       w = å_j=1^pa_j dx_j.

Intégrale curviligne de w sur un arc orienté G de U, notation ò_Gw.

Calcul de l'intégrale curviligne d'une forme exacte à l'aide d'une primitive de w.

Définition d'une forme de classe C¹ fermée sur U. Toute forme de classe C¹ exacte sur U est fermée sur U. Réciproque lorsque l'ouvert U est étoilé.

La démonstration de cette réciproque n'est pas exigible des étudiants.

Travaux pratiques

Exemples d'emploi de coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.

§ Exemples d'étude de transformations du plan de la forme z®f(z).

L'étude générale des transformations conformes est hors programme.

§ Exemples de recherche d'extrémums locaux ou globaux.

Exemples de recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles par séparation ou changement de variables.

Exemples de calculs d'intégrales curvilignes et de recherche d'une primitive d'une forme différentielle.

Exemples de calculs d'intégrales doubles, d'aires planes et de volumes.

§ Exemples de représentation d'une surface à l'aide d'une famille de sections planes.