| 1- Ensembles, applications |
Ce chapitre figure au programme de la première période.
L'objectif est d'acquérir le vocabulaire usuel sur les ensembles, les applications et les relations. Toute étude systématique, a fortiori toute axiomatique, de la théorie des ensembles est exclue.
Le programme se limite strictement aux notions de base figurant ci-dessous. Ces notions doivent être acquises progressivement par les étudiants au cours de l'année, au fur et à mesure des exemples rencontrés dans les différents chapitres d'algèbre, d'analyse et de géométrie. Elles ne doivent pas faire l'objet d'une étude exhaustive bloquée en début d'année.
a) Ensembles, opérations sur les parties
Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble P(E) des parties de E. Opérations sur les parties: intersection, réunion, complémentaire. Produit de deux ensembles.
Les éléments x d'un ensemble E satisfaisant à une relation R(x) constituent une partie de E, ce qui permet d'interpréter en termes ensemblistes l'implication, la conjonction et la disjonction de deux relations, ainsi que la négation d'une relation.
b) Applications, lois de composition
Une application f de E dans (vers) F est définie par son ensemble de départ E, son ensemble d'arrivée F et son graphe G.
Ensemble F(E,F) des applications de E dans F. Ensemble EI des familles (xi)i Î I d'éléments d'un ensemble E indexées par un ensemble I.
Composée de deux applications, application identique. Restriction et prolongements d'une application.
Équations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application réciproque d'une bijection. Composée de deux injections, de deux surjections, de deux bijections.
Notations E \hflf F, f:E® F, x® f(x), la première étant très commode, notamment pour la composition des applications.
Le programme ne distingue pas les notions de fonction et d'application. La notion de correspondance entre deux ensembles est hors programme.
Définition des images directe et réciproque d'une partie; compatibilité de l'image réciproque avec les opérations sur les parties.
Fonction caractéristique d'une partie, lien avec les opérations sur les parties.
Aucune connaissance spécifique sur les images directes et leurs relations avec les images réciproques n'est exigible des étudiants.
Définition d'une loi de composition interne. Associativité, commutativité, élément neutre. Définition d'un monoïde, éléments inversibles. Notations additive et multiplicative d'une loi de composition.
Tout développement sur les monoïdes est hors programme.
c) Relations d'équivalence, relations d'ordre
Définition d'une partition d'un ensemble; partition d'un ensemble E définie par une application de E dans F. Définition d'une relation d'équivalence.
La notion d'ensemble quotient est hors programme.
Définition d'une relation d'ordre, ordre total, ordre partiel. Majorants, minorants, plus grand et plus petit élément.
La notion de borne supérieure (ou inférieure) n'est étudiée que dans le cadre des nombres réels et des fonctions à valeurs réelles. La notion d'élément maximal est hors programme.
| 2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements |
Ce chapitre figure au programme de la première période.
En ce qui concerne les nombres entiers naturels et les ensembles finis, l'objectif principal est d'acquérir la maîtrise du raisonnement par récurrence. Les propriétés de l'addition, de la multiplication et de la relation d'ordre dans N sont supposées connues; toute construction et toute axiomatique de N sont hors programme.
L'équipotence des ensembles infinis et la notion d'ensemble dénombrable sont hors programme.
En ce qui concerne la combinatoire, le programme se limite strictement aux exemples fondamentaux indiqués ci-dessous. L'objectif est d'apprendre à organiser les ensembles étudiés, ce qui permet en outre de les dénombrer. À cet effet, on exploitera les représentations graphiques par des arbres, et l'on mettra en valeur les méthodes suivantes: mise en bijection avec un ensemble déjà connu; emploi d'une partition et du principe des bergers.
a) Nombres entiers naturels
Propriétés fondamentales de l'ensemble N des nombres entiers naturels. Toute partie non vide a un plus petit élément; principe de récurrence. Toute partie majorée non vide a un plus grand élément.
Les étudiants doivent maîtriser le raisonnement par récurrence simple ou avec prédécesseurs.
Suites d'éléments d'un ensemble E (indexées par une partie de N). Suite définie par une relation de récurrence et une condition initiale.
On admet qu'étant donnés une application f de E dans E et un élément a de E, il existe une suite (un) et une seule d'éléments de E satisfaisant à la relation de récurrence un+1=f(un) et à la condition initiale u0=a.
b) Ensembles finis
Définition: il existe une bijection de [[1,n]] sur E; cardinal (ou nombres d'éléments) d'un ensemble fini, notation Card E. On convient que l'ensemble vide est fini et que CardÆ = 0.
S'il existe une bijection de [[1,p]] sur [[1,n]], alors p=n; cas d'une injection, d'une surjection.
Toute partie E¢ d'un ensemble fini E est finie et
|
Étant donnés deux ensembles finis E et F de même cardinal, et une application f de E dans F, f est bijective si et seulement si f est surjective ou injective.
Les étudiants doivent connaître des exemples de parties strictes de N en bijection avec N.
Une partie non vide P de N est finie si et seulement si elle est majorée. Si P est finie non vide, il existe une bijection strictement croissante et une seule de l'intervalle [[1,n]] sur P, où n=Card P; la démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.
c) Sommes et produits
Dans un monoïde commutatif E, somme (ou produit) d'une famille (ap)1 £ p £ n; notations a1+a2+¼+ap+¼+an, a1a2¼ap¼an, å1 £ p £ nap, Õ1 £ p £ nap.
Brève extension au cas des familles (ai)i Î I indexées par un ensemble fini I.
L'objectif est la maîtrise sur des exemples des symboles å et Õ. Les démonstrations des propriétés de ces symboles sont hors programme.
Suites arithmétiques, suites géométriques. Notations na et an.
Symbole n! (on convient que 0!=1).
d) Opérations sur les ensembles finis, dénombrements
Si E et F sont des ensembles finis, EÈF l'est aussi; cardinal d'une réunion finie de parties finies disjointes.
Si E et F sont des ensembles finis, E×F l'est aussi et
|
Étant donnés un entier p, des ensembles finis E et F, et une application f de E dans F tels que, pour tout élément b de F, Card f-1(b)=p, alors Card E=p.Card F.
Les étudiants doivent connaître la relation Card(AÈB)=Card A+Card B-Card(AÇB), ainsi que son extension au cas de trois parties.
Cardinal de l'ensemble F(E,F) des applications de E dans F; cardinal de l'ensemble P(E) des parties de E.
Étant donnés des ensembles finis E et F ayant respectivement p et n éléments, cardinal Anp de l'ensemble des injections de E dans F; arrangements. Cas des bijections; permutations.
Les étudiants doivent savoir utiliser ces résultats pour le dénombrement des p-listes d'éléments (des p-listes d'éléments distincts deux à deux) d'un ensemble fini.
Cardinal ([ n || p]), ou
|
Les étudiants doivent connaître les relations
|
|
ainsi que leur interprétation ensembliste.
| 3- Structures algébriques usuelles |
Ce chapitre figure au programme de la première période, sauf mention
expresse du contraire.
L'objectif est d'acquérir le vocabulaire élémentaire sur les structures algébriques usuelles suivantes: groupes, anneaux et corps, espaces vectoriels, algèbres. Toute étude des structures algébriques générales est hors programme.
Le programme se limite strictement aux notions de base indiquées ci-dessous. Ces notions doivent être acquises progressivement par les étudiants au cours de l'année, au fur et à mesure des exemples rencontrés dans les différents chapitres d'algèbre, d'analyse et de géométrie. Elles ne doivent pas faire l'objet d'une étude exhaustive bloquée en début d'année.
Vu l'importance capitale de l'algèbre linéaire, le programme comporte l'étude des concepts d'espace vectoriel, d'application linéaire et d'algèbre; cette étude fait l'objet d'un approfondissement dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie (cf. parties II et III).
En revanche, l'étude des groupes, des anneaux et des corps porte uniquement sur des exemples:
- La notion de groupe est étudiée, en première période, dans le cadre des ensembles de nombres et, en seconde période, dans le cadre de l'algèbre linéaire et de la géométrie (cf. parties II et III).
- La divisibilité dans un anneau est étudiée dans le cadre de l'anneau Z\ et de l'anneau K[X] des polynômes.
Toute étude générale des groupes, anneaux et corps est hors programme et, en particulier, les notions d'opération d'un groupe sur un ensemble, de conjugaison, de sous-groupe distingué, de morphisme d'anneau, d'idéal, ainsi que les constructions de Z et de Q.
Pour la pratique en algèbre linéaire, le programme se limite au cas où le corps de base est Q, R ou C.
a) Groupes
Définition d'un groupe, d'un sous-groupe, d'un morphisme de groupes, d'un isomorphisme. Noyau et image d'un morphisme de groupes.
Groupe additif Z des nombres entiers.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples issus:
- en première période, des ensembles de nombres, notamment Z, R et C;
- en seconde période, de l'algèbre linéaire et de la géométrie: groupe linéaire, groupe affine; groupe orthogonal, groupe des isométries.
b) Sous-groupe engendré par un élément
(Seconde période)
Dans un groupe additif (ou multiplicatif) G, description du sous-groupe engendré par un élément a.
Morphisme n® na (ou n® an) de Z dans G. Définition de l'ordre d'un élément; définition d'un groupe cyclique.
Générateurs du groupe Un des racines n-ièmes de l'unité.
Le groupe Z/nZ n'étant pas au programme, le modèle de groupe cyclique d'ordre n est le groupe Un. Toute étude générale des groupes finis, et notamment le théorème de Lagrange, est hors programme.
c) Groupe symétrique
(Seconde période)
Définition du groupe Sn des permutations de [[1,n]]; cycles, transpositions. Décomposition d'une permutation en produit de transpositions. Signature e(s) d'une permutation s, signature d'une transposition.
Le groupe symétrique est introduit en relation avec la notion de déterminant. Son étude n'est pas un objectif en soi.
L'application s®e(s) est un morphisme de Sn dans le groupe multiplicatif {-1,1}; définition du sous-groupe alterné An.
La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.
d) Anneaux et corps
Définition d'un anneau (ayant un élément unité), d'un sous-anneau. Distributivité du produit par rapport au symbole sommatoire å.
Groupe A* des éléments inversibles d'un anneau A non réduit à {0}.
Définition d'un corps (commutatif et non réduit à {0}), d'un sous-corps.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples issus:
- des ensembles de nombres Z, Q, R, C;
- des polynômes et fractions rationnelles.
Anneau intègre A (commutatif, sans diviseur de 0, et non réduit à {0}). Corps des fractions K de A.
Anneau Z des nombres entiers, corps Q des nombres rationnels. Relation d'ordre, valeur absolue.
Il existe un corps K, unique à un isomorphisme près, tel que A soit un sous-anneau de K, et que tout élément de K s'écrive a/b, où a,b Î A, b ¹ 0. La démonstration de ce résultat est hors programme.
Multiples et diviseurs d'un entier. Division euclidienne dans Z, algorithme de la division euclidienne.
Les étudiants doivent connaître la structure des sous-groupes du groupe additif Z.
Calculs dans un anneau commutatif et dans un corps. Formule du binôme. Relation
|
Somme des n premiers termes d'une suite géométrique.
Brève extension au cas d'éléments d'un anneau qui commutent.
e) Espaces vectoriels
Définition d'un espace vectoriel sur un corps K, définition d'un sous-espace vectoriel, d'une application linéaire, d'une forme linéaire. Composée de deux applications linéaires. Définition d'un isomorphisme, d'un endomorphisme, d'un automorphisme.
L'application réciproque d'une application linéaire bijective est linéaire.
Espace vectoriel produit E×F. Espace vectoriel F(X,F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel F. Espace vectoriel L(E,F) des applications linéaires de E dans F; linéarité des applications v® v°u et u® v°u.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples, et notamment:
- l'espace vectoriel Kn;
- l'espace vectoriel F(X,K) des applications d'un ensemble X dans K;
- les espaces vectoriels de suites et de fonctions;
- l'espace vectoriel Mn,p(K) des matrices à coefficients dans K à n lignes et p colonnes (en seconde période).
Équations linéaires; noyau et image d'une application linéaire. Description de l'ensemble des solutions de u(x)=b.
Définition des combinaisons linéaires de p vecteurs x1,x2,¼,xp d'un espace vectoriel; image par une application linéaire d'une combinaison linéaire. Définition des relations linéaires entre p vecteurs x1,x2,¼,xp d'un espace vectoriel.
On traite d'abord le cas d'une famille (x1,¼,xp), puis on étend brièvement ces notions au cas des familles finies (xi)i Î I. Le cas des familles indexées par un ensemble infini est hors programme.
Intersection de sous-espaces vectoriels; définition du sous-espace vectoriel engendré par une partie.
Description du sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs.
Somme F+G de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espaces supplémentaires, notation E=FÅG. Projecteurs associés.
La notion générale de somme directe est hors programme.
f) Algèbres
Définition d'une K-algèbre associative unitaire; une telle algèbre est munie d'une structure d'anneau. Définition d'une sous-algèbre, d'un morphisme d'algèbres, d'un isomorphisme, d'un endomorphisme, d'un automorphisme.
Algèbre F(X,K) des applications d'un ensemble X dans le corps K.
Algèbre L(E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E; homothéties, caractérisation des projecteurs par la relation p2=p.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples, et notamment:
- la R-algèbre C des nombres complexes;
- l'algèbre K[X] des polynômes à coefficients dans K;
- les algèbres de suites et de fonctions:
- l'algèbre Mn(K) des matrices à coefficients dans K à n lignes et n colonnes (en seconde période).
L'étude générale des algèbres est hors programme.
| 4- Arithmétique élémentaire |
L'objectif est d'étudier, par des méthodes élémentaires, les
propriétés de base de la divisibilité des nombres entiers, et de les
exploiter pour la résolution de quelques problèmes simples d'arithmétique.
L'étude des congruences et la définition de l'anneau Z/nZ sont hors programme.
a) Numération
(Première période)
Définition de la numération des entiers naturels en base a. Numération décimale; numération binaire, algorithme d'exponentiation rapide.
Algorithmes d'addition et de multiplication de grands entiers. En dehors de ce point, aucune connaissance spécifique sur la numération dans des bases autres que 2 et 10 n'est exigible des étudiants.
b) Divisibilité dans l'anneau Z
(Seconde période)
Diviseurs communs à deux nombres entiers; nombres premiers entre eux. PGCD de deux entiers; algorithme d'Euclide. PPCM de deux entiers; forme irréductible d'un nombre rationnel.
La définition des idéaux de Z est hors programme.
Théorème de Bézout. Théorème de Gauss.
Les étudiants doivent connaître l'algorithme donnant les coefficients de l'égalité de Bézout.
Nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition d'un entier strictement positif en produit de facteurs premiers. L'ensemble des nombres premiers est infini.
| 5- Polynômes et fractions rationnelles |
Ce chapitre figure au programme de la première période, sauf mention
expresse du contraire.
L'objectif est d'étudier, par des méthodes élémentaires, les propriétés de base des polynômes et des fractions rationnelles, et d'exploiter ces objets formels pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
Dans les paragraphes b), c) et e), on suppose que le corps de base K est un sous-corps de C.
Pour la pratique, le programme se limite au cas où le corps de base est Q, R ou C.
a) Algèbre K[X] et corps K(X)
Algèbre K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps K.
Degré d'un polynôme (on convient que le degré de 0 est -¥), coefficient dominant, polynôme unitaire (ou normalisé). Degré d'un produit, d'une somme; les polynômes de degré inférieur ou égal à p constituent un sous-espace vectoriel de K[X].
L'anneau K[X] est intègre. Corps K(X) des fractions rationnelles, degré d'une fraction rationnelle.
Notations a0+a1 X+¼+ap Xp, ån=0+¥an Xn.
Aucune connaissance sur la construction de K[X] et de K(X) n'est exigible des étudiants.
Définition du composé de deux polynômes:
si P(X)=ån=0p an Xn, P°Q=ån=0panQn.
Aucun développement sur la composition n'est au programme.
Multiples et diviseurs d'un polynôme, polynômes associés. Division euclidienne dans K[X], algorithme de la division euclidienne.
b) Fonctions polynomiales et rationnelles
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Équations algébriques. Zéros (ou racines) d'un polynôme; ordre de multiplicité. Isomorphisme entre polynômes et fonctions polynomiales.
Reste de la division euclidienne d'un polynôme P par X-a; caractérisation des zéros de P.
Algorithme de Horner pour le calcul des valeurs d'une fonction polynomiale.
Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle. Zéros et pôles d'une fraction rationnelle; ordre de multiplicité.
Définition du polynôme dérivé. Linéarité de la dérivation, dérivée d'un produit. Dérivées successives, dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz). Formule de Taylor, application à la recherche de l'ordre de multiplicité d'un zéro.
Les étudiants doivent connaître les relations
|
|
c) Polynômes scindés
Définition d'un polynôme scindé sur K; relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme scindé.
Aucune connaissance spécifique sur le calcul des fonctions symétriques des racines d'un polynôme n'est exigible des étudiants.
Théorème de d'Alembert-Gauss. Description des polynômes irréductibles de C[X] et de R[X].
La démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss n'est pas exigible des étudiants.
Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles sur C et sur R.
Décomposition dans C[X] de Xn-1.
d) Divisibilité dans l'anneau K[X]
(Seconde période)
Diviseurs communs à deux polynômes, polynômes premiers entre eux. PGCD de deux polynômes; algorithme d'Euclide. PPCM de deux polynômes; forme irréductible d'une fraction rationnelle.
La définition des idéaux de K[X] est hors programme.
Théorème de Bézout. Théorème de Gauss.
Les étudiants doivent connaître l'algorithme donnant les coefficients de l'égalité de Bézout.
Polynômes irréductibles. Existence et unicité de la décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles.
Pour la pratique de la décomposition en produit de facteurs irréductibles, le programme se limite au cas où K=R ou C. Aucune connaissance spécifique sur l'irréductibilité sur Q n'est exigible des étudiants.
e) Étude locale d'une fraction rationnelle
(Seconde période)
Existence et unicité de la partie entière d'une fraction rationnelle R; existence et unicité de la partie polaire de R relative à un pôle a. Lorsque a est un pôle simple de R, expressions de la partie polaire relative à ce pôle.
Les étudiants doivent savoir calculer la partie polaire en un pôle double. En revanche, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies pour des pôles d'ordre supérieur ou égal à 3. La division des polynômes suivant les puissances croissantes est hors programme.
Lorsque K=C, toute fraction rationnelle R est égale à la somme de sa partie entière et de ses parties polaires. Existence et unicité de la décomposition de R en éléments simples. Décomposition en éléments simples de [(P¢)/P].
Aucune connaissance spécifique sur la décomposition en éléments simples sur un corps autre que C n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples d'étude de problèmes de sommation.
Il convient de mettre en valeur les méthodes utilisées (emploi de récurrences, de polynômes¼).
Exemples d'étude de problèmes de dénombrement.
Le programme se limite à des exemples d'applications directes des résultats du cours.
Exemples de recherche de polynômes satisfaisant à des conditions données (interpolation, équations aux différences finies, équations différentielles¼).
Aucune connaissance spécifique sur les méthodes d'interpolation n'est exigible des étudiants.
§ Exemples d'étude de problèmes de divisibilité dans K[X] (recherche de diviseurs, recherche de PGCD, obtention de décompositions en produit de facteurs irréductibles¼).
§ Exemples d'étude d'équations algébriques à coefficients réels ou complexes.
En dehors du cas de zn=a, aucune connaissance spécifique sur les équations d'ordre supérieur ou égal à 3 n'est exigible des étudiants.
§ Pratique de la décomposition en éléments simples dans C(X) d'une fraction rationnelle n'ayant que des pôles simples ou doubles.
En dehors de ce cas, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies. L'obtention de décompositions en éléments simples n'est pas un objectif en soi; tout excès de technicité sur ce point est à éviter.
§ Exemples d'étude de problèmes de divisibilité dans Z (recherche de diviseurs, recherche de PGCD, obtention de décompositions en produit de facteurs premiers¼).
En dehors des cas usuels en base dix, l'étude des propriétés de divisibilité d'un nombre à partir de son écriture dans une base est hors programme.