Cette partie figure au programme de la seconde période.
L'objectif est double:
- Acquérir les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension finie (indépendance linéaire, bases, dimension, sous-espaces vectoriels supplémentaires et projecteurs, rang), le calcul matriciel et la géométrie affine réelle (sous-espaces affines, barycentres, applications et transformation affines).
- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et applications linéaires, points et applications affines) et le point de vue matriciel.
Il convient d'étudier conjointement l'algèbre linéaire et la géométrie affine et, dans les deux cas, d'illustrer les notions et les résultats par de nombreuses figures.
Dans toute cette partie, les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie et, pour la pratique, le programme se limite au cas où le corps de base est Q, R ou C.
| 1- Espaces vectoriels de dimension finie |
L'étude des espaces vectoriels et des applications linéaires est à
mener de front avec celle du calcul matriciel.
a) Familles libres, familles génératrices, bases
Définition d'une famille libre, d'une famille liée, d'une famille génératrice, d'une base; coordonnées (ou composantes) d'un vecteur dans une base. Base canonique de Kn.
Étant donnés un espace vectoriel E muni d'une base (e1,¼,ep) et une famille (f1,¼,fp) de vecteurs d'un espace vectoriel F, il existe une application linéaire u et une seule de E dans F telle que u(ej)=fj.
La donnée d'une famille de p vecteurs (x1,x2, ¼,xp) d'un K-espace vectoriel E détermine une application linéaire de Kp dans E; noyau et image de cette application; caractérisation des bases de E, des familles génératrices, des familles libres.
b) Dimension d'un espace vectoriel
Définition d'un espace vectoriel de dimension finie (espace vectoriel admettant une famille génératrice finie). Théorème de la base incomplète, existence de bases.
Toutes les bases d'un espace vectoriel E de dimension finie ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de E. On convient que l'espace vectoriel réduit à {0} est de dimension nulle.
Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kn; deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont isomorphes si et seulement si dimE=dimF.
Étant donnée une famille S de vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n:
- si S est libre, alors p £ n, avec égalité si et seulement si S est une base;
- si S est génératrice, alors p ³ n, avec égalité si et seulement si S est une base.
Base de E×F associée à des bases de E et de F; dimension de E×F.
Étant donnés un espace vectoriel E muni d'une base B=(ej) et un espace vectoriel F muni d'une base C=(fi), une application linéaire u de E dans F et un vecteur x de E, expression des coordonnées de y=u(x) dans C en fonction des coordonnées de x dans B.
Étant donnée une forme linéaire j sur E, expression de j(x) en fonction des coordonnées de x dans B.
La famille (ui,j) des applications linéaires coordonnées de E dans F associées à ces bases est une base de L(E,F). Plus précisément, u=åai,j ui,j où ai,j est la i-ième coordonnée dans C de l'image u(ej). Dimension de L(E,F).
La famille des formes linéaires coordonnées associée à une base de E est une base de l'espace vectoriel, noté E*, des formes linéaires sur E. Dimension de E*.
La théorie de la dualité, et notamment la notion d'orthogonalité, est hors programme.
c) Dimension d'un sous-espace vectoriel
Tout sous-espace vectoriel E¢ d'un espace vectoriel de dimension finie E est de dimension finie et dimE¢ £ dimE, avec égalité si et seulement si E¢=E. Rang d'une famille de vecteurs.
Existence de sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un sous-espace vectoriel donné; dimension d'un supplémentaire.
Les étudiants doivent connaître la relation dim(E+F)=dimE+dimF-dim(EÇF).
d) Rang d'une application linéaire
Étant donnée une application linéaire u de E dans F, u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker u sur Im u; en particulier,
|
Cas d'une forme linéaire: caractérisation et équations d'un hyperplan.
Rang d'une application linéaire, caractérisation des isomorphismes.
Invariance du rang par composition avec un isomorphisme.
Caractérisation des éléments inversibles de l'algèbre L(E). Définition du groupe linéaire GL(E); homothéties de rapport non nul, affinités, symétries. Caractérisation des symétries par la relation s2=IE.
L'étude générale du groupe linéaire est hors programme.
| 2- Calcul matriciel |
Le calcul matriciel présente deux aspects qu'il convient de mettre en
valeur:
- Calcul sur des tableaux de nombres, interprétés en termes d'applications linéaires de Kp dans Kn munis de leurs bases canoniques.
- Expression dans des bases d'une application linéaire d'un espace vectoriel dans un autre.
Un des objectifs importants est d'interpréter matriciellement un changement de base dans un espace vectoriel, puis d'étudier l'effet d'un changement de base(s) sur la matrice associée à un endomorphisme (à une application linéaire). En revanche, les notions de matrices semblables et de matrices équivalentes sont hors programme.
a) Opérations sur les matrices
Espace vectoriel Mn,p(K) des matrices à n lignes et p colonnes sur un corps K. Base canonique (Ei,j) de Mn,p(K); dimension de Mn,p(K). Isomorphisme canonique de L(Kp,Kn) sur Mn,p(K). Définition du produit matriciel, bilinéarité.
Identification des matrices colonnes et des vecteurs de Kn, des matrices lignes et des formes linéaires sur Kp.
Écriture matricielle Y=M X de l'effet d'une application linéaire sur un vecteur.
Algèbre Mn(K) des matrices carrées à n lignes. Isomorphisme canonique de l'algèbre L(Kn) sur l'algèbre Mn(K). Matrices carrées inversibles; définition du groupe linéaire GLn(K).
Sous-algèbre des matrices diagonales, des matrices triangulaires supérieures (ou inférieures).
Transposée d'une matrice. Compatibilité avec les opérations algébriques sur les matrices.
Écriture matricielle tYX de l'effet d'une forme linéaire sur un vecteur.
Matrices carrées symétriques, antisymétriques.
Lorsque K est un sous-corps de C, les matrices symétriques et les matrices antisymétriques constituent des sous-espaces supplémentaires.
b) Matrices et applications linéaires
Matrice MB,C(u) associée à une application linéaire u d'un espace vectoriel E muni d'une base B dans un espace vectoriel F muni d'une base C. L'application u® MB,C(u) est un isomorphisme de L(E,F) sur Mn,p(K).
La j-ième colonne de MB,C(u) est constituée des coordonnées dans la base C de l'image par u du j-ième vecteur de la base B.
Matrice MB(u) associée à un endomorphisme u d'un espace vectoriel E muni d'une base B. L'application u® MB(u) est un isomorphisme d'algèbres.
Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs, d'une famille finie de formes linéaires.
Matrice de passage d'une base B à une base B¢ d'un espace vectoriel E; effet d'un changement de base(s) sur les coordonnées d'un vecteur, sur l'expression d'une forme linéaire, sur la matrice d'une application linéaire, sur la matrice d'un endomorphisme.
La matrice de passage de la base B à la base B¢ est, par définition, la matrice de la famille B¢ dans la base B: sa j-ième colonne est constituée des coordonnées dans la base B du j-ième vecteur de la base B¢. Cette matrice est aussi MB¢,B(IE).
c) Opérations élémentaires sur les matrices
Opérations (ou manipulations) élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) d'une matrice. Interprétation des opérations élémentaires en termes de produits matriciels.
Les opérations élémentaires sur les lignes sont les suivantes:
- addition d'un multiple d'une ligne à une autre (codage: Li¬Li+aLj);
- multiplication d'une ligne par un scalaire non nul (codage: Li¬ aLi);
- échange de deux lignes (codage: Li« Lj).
Application à l'inversion d'une matrice carrée par la méthode du pivot de Gauss.
Cette méthode permet en outre d'étudier l'inversibilité de la matrice.
d) Rang d'une matrice
Définition du rang d'une matrice (rang de l'application linéaire canoniquement associée, ou encore rang des vecteurs colonnes).
Pour toute application linéaire u de E dans F, le rang de u est égal au rang de MB,C(u), où B est une base de E et C une base de F.
Une matrice de Mn,p(K) est de rang r si et seulement si elle est de la forme UJrV où U et V sont des matrices carrées inversibles. Invariance du rang par transposition.
Emploi des opérations élémentaires pour le calcul du rang d'une matrice.
La matrice Jr est l'élément (ai,j) de Mn,p(K) défini par les relations:
| ||||||||||
e) Systèmes d'équations linéaires
Définition, système homogène associé; interprétations. Description de l'ensemble des solutions.
Rang d'un système linéaire. Dimension de l'espace vectoriel des solutions d'un système linéaire homogène.
Les étudiants doivent connaître l'interprétation d'un système de n équations linéaires à p inconnues, à l'aide des vecteurs de Kn, des formes linéaires sur Kp, et d'une application linéaire de Kp dans Kn (ainsi que la traduction matricielle correspondante).
Existence et unicité de la solution lorsque r=n=p (systèmes de Cramer). Résolution des systèmes de Cramer triangulaires. Emploi de la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes de Cramer.
Le théorème de Rouché-Fontené et les matrices bordantes sont hors programme.
| 3- Géométrie affine réelle |
L'objectif essentiel est d'exploiter les outils de l'algèbre linéaire
pour approfondir l'étude des propriétés affines du plan et de l'espace,
déjà abordée dans les classes antérieures. En revanche, l'étude des espaces
affines généraux est hors programme; le programme se place dans le cadre
des sous-espaces affines des espaces vectoriels et des applications affines
d'un espace vectoriel dans un autre. Afin de relier ce point de vue à celui
adopté dans les classes antérieures, il convient de donner brièvement la
définition d'un espace affine V de direction un espace vectoriel E, et
de signaler que le choix d'une origine permet d'identifier espace affine et
espace vectoriel. Dans tout le programme, on effectue cette
identification.
Dans ce chapitre, le corps de base est R et les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
Pour la pratique, le programme se limite à l'étude du plan et de l'espace, illustrée de nombreuses figures.
a) Translations, sous-espaces affines
Translations d'un espace vectoriel E; notation A+x où A est un point de E et x un vecteur de E.
Les éléments de E sont appelés indifférement vecteurs ou points.
Définition d'un sous-espace affine W (c'est-à-dire une partie de E de la forme A+F, où F est un sous-espace vectoriel de E). Direction et dimension d'un sous-espace affine; vecteurs directeurs d'un sous-espace affine.
Sous-espaces affines parallèles.
On dit qu'un sous-espace affine W est parallèle à un sous-espace affine W¢ si la direction de W est un sous-espace vectoriel de celle de W¢.
Intersection de deux sous-espaces affines, direction et dimension de cette intersection lorsqu'elle n'est pas vide.
Les étudiants doivent maîtriser les relations d'incidence entre droites du plan, et entre droites et plans de l'espace. En revanche, l'étude des relations d'incidence en dimension quelconque est hors programme.
b) Applications affines, transformations affines
Définition d'une application affine d'un espace vectoriel dans un autre, application linéaire associée; translations, homothéties, projections.
Image d'un sous-espace affine par une application affine.
Les étudiants doivent savoir qu'une application affine conserve l'alignement et le parallélisme. En revanche, l'étude générale des applications affines est hors programme.
Étant donné un point A de E, toute application affine f de E dans lui-même s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme f=t°u où t est une translation et où u fixe A.
Les applications affines fixant A peuvent s'identifier aux endomorphismes de E.
Définition d'un isomorphisme affine, d'un automorphisme affine (ou transformation affine). Définition du groupe affine GA(V); translations, homothéties de rapport non nul, affinités, symétries. Morphisme de GA(V) dans GL(E); sous-groupe des translations, sous-groupe des homothéties- translations.
L'étude générale du groupe affine est hors programme.
c) Repères cartésiens
Repères cartésiens d'un sous-espace affine W, repère cartésien canonique de Rn; coordonnées d'un point, expression d'une application affine.
Changement d'origine, changement de repère.
Un repère cartésien de W est un couple formé d'un point de W et d'une base de la direction de W.
Équations cartésiennes d'une droite du plan, d'un plan de l'espace. Définition d'une droite de l'espace par deux équations.
L'étude générale des équations définissant un sous-espace affine est hors programme.
Définition d'un paramétrage d'un sous-espace affine W de dimension p (isomorphisme affine de Rp sur W).
Paramétrage d'une droite, d'une demi-droite, d'un plan, d'un demi-plan.
La donnée d'un repère cartésien de W détermine un paramétrage de W.
d) Barycentres
Définition des barycentres, associativité. Stabilité d'un sous-espace affine par barycentration.
Définition d'un segment, paramétrage d'un segment.
Définition d'une partie convexe.
La caractérisation des sous-espaces affines à l'aide des barycentres, les notions de coordonnées barycentriques, de repère affine et d'enveloppe convexe sont hors programme.
Image d'un barycentre par une application affine.
La caractérisation des applications affines à l'aide des barycentres est hors programme.
| 4- Déterminants |
a) Applications multilinéaires
Définition d'une application n-linéaire, applications n-linéaires symétriques, antisymétriques, alternées.
Il convient de donner de nombreux exemples d'applications bilinéaires issus de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie. En revanche, l'étude générale des applications bilinéaires et multilinéaires est hors programme.
b) Déterminant de n vecteurs
Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Déterminant de n vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension n. Caractérisation des bases.
Application à l'expression de la solution d'un système de Cramer.
La démonstration de l'existence et de l'unicité du déterminant n'est pas exigible des étudiants.
Dans le plan, lignes de niveau de
|
c) Déterminant d'un endomorphisme
Déterminant d'un endomorphisme, du composé de deux endomorphismes; caractérisation des automorphismes.
Application à l'orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie; la donnée d'une base détermine une orientation. Bases directes d'un espace vectoriel orienté.
d) Déterminant d'une matrice carrée
Déterminant d'une matrice carrée. Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d'une matrice. Développement par rapport à une ligne ou une colonne; cofacteurs.
Relation
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Expression de l'inverse d'une matrice carrée.
| Travaux pratiques |
Exemples d'étude de l'indépendance linéaire d'une famille finie de vecteurs.
Exemples de construction de bases et de sous-espaces vectoriels supplémentaires, et d'emploi de bases, de supplémentaires et de changements de bases, notamment pour l'étude des équations linéaires.
Il convient d'exploiter les espaces vectoriels Kn et Mn(K), ainsi que les espaces vectoriels de polynômes, de suites et de fonctions (calcul de la puissance n-ième d'une matrice, interpolation, étude d'équations aux différences finies, de suites récurrentes linéaires, d'équations différentielles¼).
Exemples d'étude de systèmes d'équations linéaires (résolution des systèmes de Cramer, détermination du rang, recherche d'une base de l'espace vectoriel des solutions d'un système linéaire homogène, existence et calcul d'une solution particulière lorsque r=n ou r=p).
Lorsque p £ 3, en liaison avec l'étude de l'incidence des droites du plan et des plans de l'espace, les étudiants doivent savoir expliciter l'ensemble des solutions quel que soit le rang.
§ Emploi des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice à coefficients numériques pour la résolution des systèmes de Cramer par l'algorithme du pivot partiel, le calcul de déterminants, l'inversion des matrices carrées, la détermination du rang d'une matrice.
Exemples de calcul et d'emploi de déterminants.
Le calcul de déterminants n'est pas un objectif en soi; tout excès de technicité sur ce point est à éviter.