Cette partie figure au programme de la seconde période.
L'objectif est double:
- Acquérir les notions de base sur le produit scalaire, sur les espaces vectoriels euclidiens (bases orthonormales, supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux, automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales) et sur la géométrie euclidienne du plan et de l'espace (distances, angles, isométries, déplacements, similitudes directes).
- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs et automorphismes orthogonaux, points et isométries) et le point de vue matriciel.
Il convient d'étudier conjointement les espaces vectoriels euclidiens et la géométrie affine euclidienne et, dans les deux cas, d'illustrer les notions et les résultats par de nombreuses figures.
La mesure de l'angle orienté de deux vecteurs unitaires de R2 est définie à 2p près, par l'application q® eiq de R\ sur U. Toute définition géométrique des angles est hors programme.
Dans toute cette partie, le corps de base est R.
| 1- Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens |
a) Produit scalaire
Produit scalaire (x,y)® (x|y) (noté aussi en géométrie (x®,y®)®x®.y®) sur un R-espace vectoriel. Inégalité de Cauchy-Schwarz; norme euclidienne, distance associée, inégalité triangulaire.
Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal d'un sous-espace vectoriel. Familles orthogonales, familles orthonormales; relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie.
L'étude de ces notions doit être illustrée par de nombreux exemples, et notamment:
- le produit scalaire canonique de Rn;
- (f,g)®(f|g)=ò[a,b]fg dans C([a,b]);
- (f,g)®(f|g)=[1/(2p)]ò[0,2p]fg dans l'espace vectoriel C2p des fonctions continues 2p-périodiques sur R.
Relations entre produit scalaire et norme:
| ||||||||||||
Les étudiants doivent connaître l'interprétation géométrique de ces relations (triangle et parallélogramme).
b) Espaces euclidiens
Définition d'un espace vectoriel euclidien.
Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.
Existence de bases orthonormales, complétion d'une famille orthonormale en une base orthonormale. Base orthonormale associée à une base par la méthode de Schmidt.
La donnée d'une base orthonormale d'un espace vectoriel euclidien E de dimension n détermine un isomorphisme de Rn (muni du produit scalaire canonique) sur E.
Expressions dans une base orthonormale des coordonnées et de la norme d'un vecteur, du produit scalaire de deux vecteurs, de la distance de deux points.
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel F est un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel, appelé supplémentaire orthogonal de F, et noté F^ ou F°.
Toute forme linéaire f sur un espace vectoriel euclidien s'écrit de manière unique sous la forme f(x) = (a|x), où a est un vecteur.
Projecteurs orthogonaux. Caractérisation des projecteurs orthogonaux par les relations p2=p et (p(x)|y)=(x|p(y)).
Définition de la distance d'un point x à un sous-espace F; expression de cette distance à l'aide de la projection orthogonale de x sur F.
Expression de la projection orthogonale d'un vecteur sur un sous-espace muni d'une base orthonormale; calcul de la distance d'un point à un tel sous-espace. Matrice associée à un projecteur orthogonal dans une base orthonormale.
Dans un espace vectoriel euclidien orienté E, la donnée d'une orientation d'une droite D induit une orientation de l'hyperplan D^.
Application aux cas où E est de dimension 2 ou 3.
c) Automorphismes orthogonaux
Définition d'un automorphisme orthogonal d'un espace vectoriel euclidien E (c'est-à-dire un automorphisme de E conservant le produit scalaire). Caractérisation à l'aide de la conservation de la norme.
Caractérisation d'un automorphisme orthogonal par l'image d'une (de toute) base orthonormale.
Définition du groupe orthogonal O(E); symétries orthogonales, réflexions.
Étant donnés deux vecteurs distincts a et b de E tels que ||a|| = ||b||, il existe une réflexion et une seule échangeant a et b.
L'étude générale du groupe orthogonal est hors programme.
Définition des matrices orthogonales et du groupe O(n), caractérisation des matrices orthogonales par leurs vecteurs colonnes.
Caractérisation d'un automorphisme orthogonal à l'aide de la matrice associée dans une (toute) base orthonormale.
Changement de base orthonormale.
Les matrices orthogonales sont définies à partir de l'automorphisme de Rn associé. Caractérisation des matrices orthogonales par l'une des relations
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Déterminant d'une matrice orthogonale, d'un automorphisme orthogonal; déterminant d'une réflexion. Définition du groupe spécial orthogonal SO(E) (rotations), du groupe SO(n).
Caractérisation d'une rotation par l'image d'une (de toute) base orthonormale directe.
L'étude générale du groupe des rotations est hors programme.
Dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension n, déterminant de n vecteurs dans une base orthonormale directe, noté det(x1,x2,¼,xn) ou [x1,x2,¼,xn].
Les étudiants doivent connaître l'interprétation géométrique de |det(a,b)| et de |det(a,b,c)| en termes d'aire et de volume.
Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, produit vectoriel, notations uÙv ou u×v.
Expression des coordonnées du produit vectoriel dans une base orthonormale directe.
d) Automorphismes orthogonaux du plan
Dans un plan euclidien E, tout automorphisme orthogonal est soit une réflexion, soit le produit de deux réflexions. Le groupe SO(E) est commutatif.
Étude de la décomposition d'une rotation en produit de deux réflexions.
Dans un plan euclidien orienté, mesure q (définie modulo 2p) de l'angle orienté de deux vecteurs a et b non nuls.
Relations
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Matrice dans une base orthonormale directe d'une rotation, mesure de l'angle d'une rotation; matrice de rotation R(q) associée à un nombre réel q; morphisme q® R(q) de R sur SO(2).
Si u est la rotation d'angle de mesure q, alors pour tout vecteur unitaire a,
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e) Automorphismes orthogonaux de l'espace
Dans un espace euclidien de dimension 3, tout automorphisme orthogonal est le produit d'au plus trois réflexions.
Étude de la décomposition d'une rotation en produit de deux réflexions.
Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3, mesure q (où 0 £ q £ p) de l'angle de deux vecteurs a et b non nuls.
Relations
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Axe et mesure de l'angle d'une rotation d'un espace euclidien orienté de dimension 3. Étant donnée une rotation u d'axe dirigé par un vecteur unitaire a et d'angle de mesure q (modulo 2p), l'image d'un vecteur x orthogonal à l'axe est donnée par
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Les étudiants doivent savoir déterminer l'axe et la mesure de l'angle d'une rotation, ainsi que l'image d'un vecteur quelconque et la matrice associée à cette rotation dans une base orthonormale directe.
En revanche, l'étude générale de la réduction des automorphismes orthogonaux de l'espace est hors programme.
| 2- Géométrie euclidienne du plan et de l'espace |
a) Distances, angles
Repères orthonormaux.
Sous-espaces affines orthogonaux du plan et de l'espace; projections orthogonales.
Distance d'un point à une droite du plan, à une droite ou un plan de l'espace.
Dans le plan euclidien orienté, mesure de l'angle orienté de deux demi-droites.
Dans l'espace euclidien de dimension 3, mesure de l'angle de deux droites, de deux plans, d'une droite et d'un plan.
Les étudiants doivent savoir calculer les projections orthogonales, les distances et les mesures des angles indiqués ci-contre, et savoir les exprimer dans un repère orthonormal.
Étude des lignes de niveau de M®(u®|AM®), où u® est un vecteur unitaire.
Équations normales d'une droite dans le plan, d'un plan dans l'espace.
b) Isométries du plan et de l'espace
Définition d'une isométrie du plan (resp. de l'espace): transformation affine conservant les distances. Définition d'un déplacement. Translations, réflexions, rotations. Les isométries, les déplacements, constituent des sous-groupes du groupe affine du plan (resp. de l'espace).
Étude du produit de deux réflexions du plan (resp. de l'espace).
L'étude générale des isométries du plan (resp. de l'espace) est hors programme.
Étant donnés deux points distincts A et B du plan ou de l'espace, il existe une réflexion et une seule échangeant A et B.
Les étudiants doivent savoir calculer l'image d'un point M par cette réflexion.
Tout déplacement du plan est soit une translation, soit une rotation.
Tout déplacement de l'espace est soit une translation, soit une rotation, soit un vissage.
c) Similitudes directes du plan
Définition d'une similitude (transformation affine multipliant les distances dans un rapport donné); rapport de similitude. Définition d'une similitude directe. Homothéties de rapport non nul, translations, rotations. Les similitudes, les similitudes directes, constituent des sous-groupes du groupe affine du plan.
Écriture complexe d'une similitude directe. Centre et mesure de l'angle d'une similitude directe distincte d'une translation.
L'étude générale des similitudes du plan est hors programme.
Les étudiants doivent connaître l'effet d'une similitude directe sur les angles orientés et les aires.
Étant donnés deux segments AB et A¢B¢ de longueur non nulle, il existe une similitude directe et une seule transformant A en A¢ et B en B¢.
Les étudiants doivent savoir déterminer le rapport, la mesure de l'angle et le centre de cette similitude directe lorsqu'elle n'est pas une translation.
d) Cercles et sphères
Dans le plan, intersection d'un cercle et d'une droite.
Dans l'espace, intersection d'une sphère et d'un plan.
Équations cartésiennes d'un cercle, d'une sphère.
Caractérisation d'un cercle et d'une sphère par l'équation MA®.MB®=0 où AB est un diamètre.
e) Coniques
Dans le plan, lignes de niveau de [MF/MH]; définition par excentricité, foyer et directrice d'une parabole, d'une ellipse, d'une hyperbole. Équations réduites, centres, sommets, foyers. Asymptotes d'une hyperbole.
Effet d'une similitude sur une conique.
Caractérisation des ellipses et des hyperboles à l'aide des lignes de niveau de MF+MF¢ et de |MF-MF¢| (définition bifocale).
Définition d'une conique par une équation cartésienne (dans un repère orthonormal) de la forme
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En dehors du cas indiqué ci-contre et de celui des hyperboles définies par une relation xy=l, aucune connaissance spécifique sur la réduction des coniques définies par une équation cartésienne n'est exigible des étudiants.
Image d'un cercle par une affinité orthogonale.
Projection orthogonale d'un cercle de l'espace sur un plan.
| Travaux pratiques |
§ Exemples de construction de bases orthonormales et de supplémentaires orthogonaux, et d'emploi de bases orthonormales, de supplémentaires orthogonaux et de changements de base orthonormale.
Il convient d'exploiter l'espace vectoriel Rn, ainsi que les espaces vectoriels de polynômes, de suites et de fonctions. Aucune connaissance spécifique sur les polynômes orthogonaux n'est exigible des étudiants.
§ En dimensions 2 et 3, exemples d'emploi du produit scalaire, du produit vectoriel et du produit mixte pour l'étude de configurations du plan et de l'espace (calcul de projections orthogonales, de distances, de mesures d'angles, d'aires, de volumes¼).
§ En dimensions 2 et 3, exemples de recherche de lignes de niveau, définies notamment par des conditions portant sur des distances et des mesures d'angles.
Dans le plan, lignes de niveau de MA®.MB®, de åiaiMAi2, de [MA/MB] et de (MA®,MB®).
Exemples de recherche des isométries laissant invariante une configuration du plan, de recherche des déplacements et des réflexions laissant invariante une configuration de l'espace.
Exemples de recherche et d'emploi de déplacements et de similitudes directes pour l'étude de configurations planes.