Cette partie figure au programme de la première période, sauf mention expresse du contraire.

Le programme est organisé autour de trois axes:

- Dérivation en un point et sur un intervalle; notions sur la convexité.

- Intégration sur un segment des fonctions continues par morceaux, à partir de l'intégration des fonctions en escalier; notions sur l'intégration sur un intervalle quelconque, d'abord dans le cadre des fonctions positives, puis des fonctions à valeurs réelles ou complexes dont le module est intégrable.

- Théorème fondamental reliant l'intégration et la dérivation; exploitation de ce théorème pour le calcul différentiel et intégral, et notamment pour les formules de Taylor.

Aussi bien pour l'étude locale que pour l'étude globale des fonctions, le programme combine de manière indissociable les outils du calcul différentiel et du calcul intégral.

L'étude générale de la dérivation et de l'intégration doit être illustrée par de nombreux exemples portant sur les fonctions usuelles (qui, par commodité de rédaction, ne figurent qu'au chapitre 6) et celles qui s'en déduisent.

Les fonctions considérées dans cette partie sont définies sur un intervalle I de R contenant au moins deux points et, dans les trois premiers chapitres, sont à valeurs réelles.

1. Dérivation des fonctions à valeurs réelles
2. Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles
3. Intégration et dérivation
4. Dérivation et intégration des fonctions à valeurs complexes
5. Courbes planes paramétrées
6. Fonctions usuelles
7. Intégration sur un intervalle quelconque
8. Équations différentielles
9. Travaux pratiques

1- Dérivation des fonctions à valeurs réelles

a) Dérivée en un point, fonction dérivée

Dérivabilité en un point: dérivée, dérivée à gauche, à droite.

Extremums locaux des fonctions dérivables.

Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter l'interprétation graphique et l'interprétation cinématique de la notion de dérivée en un point.

Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée. Opérations sur les dérivées: linéarité, produit, quotient, fonctions composées, fonctions réciproques.

Notations f¢, Df, [df/dx].

Algèbre C^k(I) des fonctions de classe C^k, où 0 £ k £ +¥. Dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz).

Notations f^(k), D ^kf, [(d^kf)/(dx^k)].

b) Étude globale des fonctions dérivables

Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis.

Inégalité des accroissements finis:

- Si m £ f¢ £ M, alors m(b-a) £ f(b)-f(a) £ M(b-a).

- Si |f¢| £ k, alors f est k-lipschitzienne.

Caractérisation des fonctions constantes, monotones et strictement monotones parmi les fonctions dérivables.

Pour le théorème de Rolle, l'égalité et l'inégalité des accroissements finis, ainsi que pour la caractérisation des fonctions monotones, on suppose f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Les étudiants doivent connaître l'interprétation graphique et cinématique de ces résultats.

Si f est continue sur [a,b], de classe C¹ sur ]a,b] et si f¢ a une limite finie en a, alors f est de classe C¹ sur [a,b].

Brève extension au cas d'une limite infinie.

c) Fonctions convexes

(Seconde période)

Définition, interprétation graphique (tout sous-arc est sous sa corde).

Caractérisation des fonctions convexes par la convexité de la partie du plan située au dessus de la courbe, par la croissance des pentes des sécantes dont on fixe une extrémité.

Inégalité de convexité: si l_j ³ 0 et å_j=1ⁿl_j=1, alors

f æ è n å j=1  lj aj ö ø £ n å j=1  ljf(aj).

Si f est de classe C¹, f est convexe si et seulement si f¢ est croissante. La courbe est alors située au dessus de chacune de ses tangentes.

L'étude de la continuité et de la dérivabilité des fonctions convexes est hors programme.

2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles

Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment. Les notions de fonction réglée et de fonction intégrable au sens de Riemann sont hors programme.

a) Fonctions continues par morceaux

Définition d'une fonction j en escalier sur [a,b], d'une subdivision de [a,b] subordonnée à j. Algèbre des fonctions en escalier sur un segment.

Algèbre (non unitaire) des fonctions en escalier sur R (par définition, ces fonctions sont nulles en dehors d'un segment).

Algèbre des fonctions continues par morceaux sur un segment.

Approximation des fonctions continues par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier: étant donnée une fonction f continue par morceaux sur [a,b], pour tout réel e > 0, il existe des fonctions j et y en escalier sur [a,b] telles que

j £ f £ y   et   y-j £ e.

b) Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment. Linéarité. Croissance.

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Notations ò_If, ò_[a,b]f. Linéarité.

Croissance; inégalité |ò_If| £ ò_I|f|.

Additivité par rapport à l'intervalle d'intégration.

Invariance de l'intégrale par translation.

Il convient d'interpréter graphiquement l'intégrale d'une fonction à valeurs positives en termes d'aire. Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur la notion d'aire.

Valeur moyenne d'une fonction.

Inégalité de la moyenne

ê ê ó õ [a,b]  fg ê ê £ sup [a,b]  |f| ó õ [a,b]  |g|.

En particulier

ê ê ó õ [a,b]  f ê ê £ (b-a)  sup [a,b]  |f|.

Toute autre formule ou égalité dite de la moyenne est hors programme.

Une fonction f continue et à valeurs positives sur un segment est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

Produit scalaire (f,g)®ò_Ifg sur l'espace vectoriel C(I); inégalité de Cauchy-Schwarz.

Approximation de l'intégrale d'une fonction f continue sur [a,b] par une somme de Riemann R_S(f) associée à une subdivision S de [a,b].

Pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour toute subdivision S de pas inférieur ou égal à d,

ê ê ó õ [a,b]  f-RS(f) ê ê £ e.

Cas où f est k-lipschitzienne sur [a,b].

Définition de ò_a^bf(t) dt, où a et b appartiennent à I. Linéarité. Inégalité de la moyenne. Relation de Chasles.

3- Intégration et dérivation

a) Primitives et intégrale d'une fonction continue

Définition d'une primitive d'une fonction continue.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Il convient de montrer sur des exemples que cette définition ne peut être étendue sans changement au cas des fonctions continues par morceaux.

Théorème fondamental: étant donnés une fonction f continue sur un intervalle I et un point a Î I,

- la fonction x®ò_a^x f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a;

- pour toute primitive h de f sur I,

ó õ x a  f(t) dt=h(x)-h(a).

Pour toute fonction f de classe C¹ sur I,

f(x)-f(a)= ó õ x a  f¢(t) dt.

Intégration par parties pour des fonctions de classe C¹.

Changement de variable: étant données une fonction f continue sur I et une fonction j à valeurs dans I et de classe C¹ sur [a,b],

ó õ j(b) j(a)  f(t) dt = ó õ b a  f æ è j(u) ö ø  j¢(u) du.

Il convient de mettre en valeur l'intérêt de changements de variable affines, notamment pour exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener, par paramétrage du segment [a,b], au cas où l'intervalle d'intégration est [0,1] ou [-1,1].

b) Formules de Taylor

Pour une fonction de classe C^p+1 sur I, formule de Taylor à l'ordre p en un point a de I.

Expression intégrale du reste.

Majoration du reste: inégalité de Taylor-Lagrange.

Relation f(x)=T_p(x)+R_p(x), où

Tp(x)= p å n=0  (x-a)n n! D nf(a).

Développement limité d'une primitive, d'une dérivée.

Existence d'un développement limité à l'ordre p pour une fonction de classe C^p: formule de Taylor-Young.

Il convient de donner un exemple où f admet un développement limité à l'ordre 2 en un point sans être deux fois dérivable en ce point.

c) Approximation d'une intégrale par la méthode des trapèzes

Étant donnée une fonction f de classe C² sur [a,b] et une subdivision S=(a₀,¼,a_n) de [a,b] à pas constant, approximation de ò_a^bf(t) dt par

In(f)= b-a 2n n-1 å j=0  é ë f(aj)+f(aj+1) ù û .

Majoration

ê ê ê ó õ b a  f(t) dt -In(f) ê ê ê £ (b-a)3 12n2  M2(f).

Cette méthode consiste à approcher f, sur chaque intervalle [a,b] de la subdivision S, par la fonction affine j telle que j(a)=f(a) et j(b)=f(b), et à exploiter la majoration suivante, valable pour tout élément t de [a,b],

|f(t)-j(t)| £ (t-a)(b-t) 2  M2(f).

Algorithme d'approximation d'une intégrale par la méthode des trapèzes.

Il convient de souligner l'intérêt des subdivisions dichotomiques.

4- Dérivation et intégration des fonctions à valeurs complexes

L'objectif est d'effectuer une brève extension des notions et propriétés suivantes, vues pour les fonctions à valeurs réelles, aux fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs complexes.

Par identification de C à R², les notions de ce chapitre s'appliquent aux fonctions d'une variable réelle à valeurs dans R².

a) Dérivation

Dérivabilité en un point, caractérisation à l'aide des parties réelle et imaginaire; opérations sur les fonctions dérivables. Algèbre C^k(I) des fonctions de classe C^k à valeurs complexes, où 0 £ k £ +¥; dérivée n-ième d'un produit.

Caractérisation des fonctions constantes.

Il convient de montrer, à l'aide d'un contre-exemple, que le théorème de Rolle ne s'étend pas.

b) Intégration

Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, linéarité.

Inégalité |ò_[a,b]f| £ ò_[a,b]|f|.

Par définition,

ó õ I  f= ó õ I  Re f+i ó õ I  Im f.

c) Intégration et dérivation

Extension du théorème fondamental.

Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C¹.

Formule de Taylor avec reste intégral; inégalité de Taylor-Lagrange; formule de Taylor-Young.

Interprétation cinématique.

5- Courbes planes paramétrées

Dans ce chapitre, on considère des fonctions à valeurs dans R², de classe C^k sur I, où 1 £ k £ +¥.

L'objectif est d'exploiter, par identification de C au plan euclidien R², les résultats obtenus sur les fonctions à valeurs complexes pour l'étude cinématique et géométrique des courbes planes.

La démarche du programme est de partir du point de vue cinématique (donnée d'un paramétrage) et d'introduire ensuite la notion de propriété géométrique en étudiant l'effet d'un changement de paramétrage.

L'étude des courbes paramétrées fait l'objet d'un approfondissement au chapitre IV.1.

a) Courbes paramétrées

Courbes paramétrées (ou arcs paramétrés) de classe C^k; interprétation cinématique: mouvement, vitesse, accélération.

Étant données deux fonctions f et g de classe C¹ à valeurs dans R², dérivation de (f|g), de ||f|| et de det(f,g).

En vue de l'enseignement de la mécanique, il convient de donner la caractérisation d'un mouvement uniforme, d'un mouvement rectiligne, d'un mouvement à accélération centrale. En mathématiques, aucune connaissance spécifique sur ces points n'est exigible des étudiants.

Effet d'un changement de paramétrage, paramétrage admissible. Trajectoire d'un mouvement, orientation; point régulier, birégulier.

Les changements de paramétrage sont supposés de classe C^k ainsi que leurs applications réciproques.

b) Étude locale d'un arc orienté G de classe C^k

Définition des demi-tangentes en un point A de G (le vecteur unitaire associé à AM^® admet une limite), de la tangente en un point A. Existence d'une tangente en un point régulier; vecteur unitaire T^® de la tangente en ce point.

Cas d'un point A où l'un au moins des vecteurs dérivés successifs est non nul.

L'étude locale en un point où tous les vecteurs dérivés successifs sont nuls est hors programme.

Position locale de G par rapport à la tangente en un point A birégulier (concavité), en un point A non birégulier (inflexions, rebroussements).

Il convient d'abord d'étudier la position locale de G par rapport à une droite D passsant par A dirigée par un vecteur n'appartenant pas à la direction de la tangente.

Branches infinies: directions asymptotiques, asymptotes.

Position locale de la courbe par rapport à l'une de ses asymptotes.

Cette étude porte seulement sur des exemples; aucun énoncé général n'est exigible des étudiants.

6- Fonctions usuelles

a) Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances

Fonctions exponentielles réelles, fonctions logarithmes. Fonctions puissances.

Fonctions hyperboliques ch, sh et th.

Les étudiants doivent connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques de ces fonctions.

En ce qui concerne la trigonométrie hyperbolique, la seule connaissance exigible des étudiants est la relation ch²t-sh²t=1 et son interprétation géométrique. Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme.

b) Fonctions circulaires

Fonctions circulaires cos, sin et tan.

Définition et dérivation des fonctions circulaires réciproques Arccos, Arcsin et Arctan.

Les étudiants doivent connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques des fonctions circulaires et des fonctions circulaires réciproques. Aucune autre connaissance spécifique sur les fonctions circulaires réciproques n'est exigible des étudiants.

c) Fonction exponentielle complexe

Dérivation de t® e^at où a Î C; dérivation de t® e^j(t), où j est à valeurs complexes.

d) Primitives des fonctions usuelles

Primitives de t® (t-a)ⁿ, a Î C, n Î Z.

Lorsque n=-1, on se ramène à l'intégration de la partie réelle et de la partie imaginaire; la notion de fonction logarithme complexe est hors programme.

Primitives de t®e^atP(t) où a Î C et P Î C[X].

Tableau des primitives des fonctions usuelles.

e) Développements limités des fonctions usuelles

Développement limité à l'origine des fonctions t®e^at, a Î C, t® (1+t)^a, a Î R.

Les étudiants doivent savoir en déduire les autres développements limités usuels.

f) Caractérisation des fonctions usuelles

(Seconde période)

Caractérisation de la fonction t® e^at (a Î C) par l'équation différentielle y¢=a y et la condition initiale y(0)=1, de la fonction t® t^a (a Î R) par l'équation différentielle t y¢=ay et la condition initialle y(1)=1.

Caractérisation des fonctions linéaires, exponentielles réelles, logarithmes, puissances et t® e^at (a Î C) par la continuité et leur équation fonctionnelle.

L'application q® e^iq définit une bijection continue de ]-p,p[ sur U privé de -1, dont l'application réciproque est continue.

Théorème de relèvement d'une application de classe C¹ à valeurs dans U. Cas des fonctions de classe C^k pour k ³ 2.

Le théorème de relèvement est énoncé essentiellement en vue de l'étude des courbes paramétrées. Sa démonstration n'est pas exigible des étudiants.

7- Intégration sur un intervalle quelconque

Ce chapitre figure au programme de la seconde période.

a) Fonctions continues intégrables à valeurs positives

Une fonction continue positive f est dite intégrable (ou sommable) sur un intervalle I s'il existe un nombre réel positif M tel que, pour tout segment J contenu dans I, ò_J f £ M.

On pose alors

ó õ I  f= sup J  ó õ J  f.

Opérations sur les fonctions continues intégrables positives: somme, produit par un scalaire positif. Croissance: si f et g sont continues sur I, si 0 £ f £ g et si g est intégrable, f l'est aussi et ò_If £ ò_Ig.

Si a appartient à I, f est intégrable sur I si et seulement si elle est intégrable sur I Ç ]-¥,a] et sur I Ç [a,+¥[.

S'il existe une suite croissante (J_n) de segments dont la réunion est égale à I et telle que, pour tout n, ò_Jnf £ M, alors f est intégrable sur I.

Dans ces conditions, pour toute suite (J_n) du type précédent

ó õ I  f= sup n  ó õ Jn  f= lim n  ó õ Jn  f.

Caractérisation de l'intégrabilité de f sur [a,b[ à l'aide de la fonction x® ò_a^xf(t) dt. Cas des fonctions définies sur ]a,b].

Comparaison à une fonction de référence.

Intégrabilité de t® t^a sur [a,+¥[, sur ]0,a].

b) Fonctions continues intégrables à valeurs complexes

Une fonction continue à valeurs complexes f est dite intégrable (ou sommable) sur I si |f| est intégrable.

Espace vectoriel des fonctions continues à valeurs complexes intégrables sur R.

Si f et g sont continues, si |f| £ g et si g est intégrable, alors f est intégrable.

Une fonction continue à valeurs réelles f est intégrable si et seulement si f⁺ et f^- le sont; on pose alors

ó õ I  f= ó õ I  f+- ó õ I  f-.

Une fonction continue à valeurs complexes f est intégrable si et seulement si Re f et Im f le sont; on pose alors

ó õ I  f= ó õ I  Re f+i ó õ I  Im f.

Dans ces conditions, pour toute suite (J_n) du type précédent

ó õ I  f= lim n  ó õ Jn  f.

Linéarité de l'intégrale. Additivité par rapport à l'intervalle d'intégration.

Si f est continue intégrable, |ò_If| £ ò_I|f|.

8- Équations différentielles

Ce chapitre figure au programme de la seconde période.

L'objectif, très modeste, est d'étudier les équations différentielles linéaires du premier ordre et les équations linéaires du second ordre à coefficients constants.

Il convient de relier cette étude à l'enseignement des autres disciplines scientifiques (systèmes mécaniques ou électriques gouvernés par une loi d'évolution et une condition initiale, traitement du signal). Il convient d'étudier le comportement du signal de sortie associé à différents types de signaux d'entrée (échelon unité, créneau, exponentielle réelle ou circulaire) et de dégager la signification de certains paramètres ou comportements: stabilité, régime permanent, oscilllation, amortissement, fréquences propres, résonance. Dans le cadre de tels problèmes, on peut être amené à étendre la notion de solution (fonction C¹ ou C² par morceaux) mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.

a) Solutions d'une équation différentielle

Définition d'une solution sur un intervalle d'une équation différentielle y¢=f(x,y), d'une solution satisfaisant à une condition initiale donnée. Interprétation graphique.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz est hors programme.

b) Équations linéaires du premier ordre

Équation a(x)y¢+b(x)y=c(x), où a, b, c sont des fonctions continues à valeurs réelles ou complexes. Équation sans second membre associée. Description de l'ensemble des solutions.

Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée sur un intervalle où a ne s'annule pas. Structure de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre associée. Expression des solutions sous forme intégrale.

c) Équations linéaires du second ordre à coefficients constants

Équation ay¢¢+by¢+cy=f(x), où a, b, c sont des nombres complexes, a ¹ 0, et f une somme de fonctions de type x® e^ax P(x), où a Î C et P Î C[X].

Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée. Structure de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre associée.

Travaux pratiques

Exemples d'emploi du calcul différentiel et intégral pour l'étude globale des fonctions: variations, recherche des zéros et du signe d'une fonction, obtention de majorations et minorations de suites et de fonctions, recherche d'extremums, inégalités de convexité.

§ Exemples d'algorithmes d'approximation d'une solution d'une équation numérique et de comparaison de leurs performances.

Les étudiants doivent connaître les méthodes de dichotomie, d'itération et de Newton, et savoir comparer leurs performances sur les exemples étudiés.

§ Exemples de calcul de primitives et d'intégrales.

Les étudiants doivent savoir calculer une primitive d'une fonction rationnelle n'ayant que des pôles simples ou doubles. En dehors de ce cas, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies.

§ Exemples d'algorithmes de calcul approché d'intégrales et de comparaison de leurs performances.

La démarche consiste à subdiviser l'intervalle d'intégration et à approcher, sur chaque sous-intervalle, la fonction à intégrer par une fonction polynomiale.

Exemples d'étude et de calcul d'intégrales de fonctions sur un intervalle quelconque.

Le programme se limite à des cas simples, où la comparaison à une fonction de référence (puissance ou exponentielle) permet d'étudier l'intégrabilité.

§ Exemples d'étude locale et de construction de courbes paramétrées et d'emploi de paramétrages d'ensembles du plan définis par des conditions géométriques ou mécaniques.

Exemples d'étude d'équations différentielles: équations linéaires du premier ordre, équations linéaires du second ordre à coefficients constants, équations à variables séparables.

Il convient d'exploiter notamment des problèmes issus de la géométrie et des autres disciplines scientifiques.