Cette partie figure au programme de la seconde période.
Les fonctions considérées dans ce chapitre sont de classe Ck sur un intervalle I de R (où 1 £ k £ +¥) et sont à valeurs dans le plan euclidien R2. En outre, pour la présentation des notions du cours, on suppose que les arcs paramétrés G ainsi définis sont réguliers à l'ordre 1, c'est-à-dire que tous leurs points sont réguliers.
| 1- Courbes du plan |
L'objectif est double:
- Étudier différents modes de définition des courbes planes (représentations cartésienne, paramétrique, polaire; équation implicite).
- Étudier quelques propriétés métriques fondamentales des courbes planes (abscisse curviligne, repère de Frenet, courbure).
Il convient de relier l'étude des courbes définies par une équation implicite F(x,y)=l à l'enseignement des autres disciplines scientifiques (lignes équipotentielles et lignes de champ).
a) Modes de définition d'une courbe plane
Courbe définie par une représentation cartésienne
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Courbe G définie par une représentation paramétrique
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Étant donné un point régulier M(t0) de G, existence locale d'une représentation cartésienne de G au voisinage de t0.
Courbe définie par une équation F(x,y)=0, où F est une application de classe Ck, où 1 £ k £ +¥, d'un ouvert U de R2 dans R dont le gradient en tout point de U est non nul.
Vecteurs directeurs de la tangente et de la normale en un point d'une ligne de niveau F(x,y)=l.
L'énoncé du théorème des fonctions implicites est donné sous la forme suivante. En un point (a,b) de U tel que F(a,b)=0 et que, par exemple, [(¶F)/(¶y)](a,b) ¹ 0, il existe des intervalles ouverts J et K de centres respectifs a et b tels que J×K soit contenu dans U et satisfaisant à la condition suivante: il existe une fonction j de classe Ck sur J à valeurs dans K et une seule, telle que, pour tout point (x,y) de J×K, les relations F(x,y)=0 et y=j(x) soient équivalentes. La démonstration de ce théorème est hors programme.
Représentation polaire d'une courbe G définie par une représentation paramétrique f de classe Ck, où 1 £ k £ +¥, d'un intervalle I de R dans R2 privé de 0: il existe un couple (r,q) de fonctions de classe Ck sur I tel que, pour tout élément t de I, f(t)=r(t) [u\vec](q(t)), où ([u\vec],[v\vec]) désigne le repère polaire.
Calcul des coordonnées de la vitesse et de l'accélération dans le repère polaire.
Courbe définie par une équation polaire q®r(q) où r est de classe Ck et à valeurs réelles. Expression dans le repère polaire de vecteurs directeurs de la tangente et de la normale.
Équation polaire d'un cercle passant par O, d'une conique de foyer O.
Les seules connaissances spécifiques exigibles des étudiants concernant l'étude de courbes définies par une équation polaire sont celles indiquées ci-contre.
b) Propriétés métriques des courbes planes paramétrées
Pour un arc orienté G régulier à l'ordre 1, repère de Frenet (T®,N®), abscisse curviligne. L'abscisse curviligne est un paramétrage admissible; représentation normale d'un arc. Longueur d'un arc.
Par définition, une abscisse curviligne est une fonction s de classe C1 sur I telle que
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Si f est de classe Ck sur I, où 2 £ k < +¥, existence d'une fonction a de classe Ck-1 sur I telle que, pour tout t Î I, T®(t)=cosa(t) e1®+sina(t) e2®.
Relations
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Définition de la courbure g = [(da)/ds]; caractérisation des points biréguliers.
Relations
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Aucune connaissance spécifique sur le centre de courbure, le cercle osculateur, les développées et les développantes n'est exigible des étudiants.
Dans le cas d'un arc G birégulier, a est un paramétrage admissible. Rayon de courbure.
Relations [(dT®)/(da)]=N®, [(dN®)/(da)]=-T®.
Calcul des coordonnées de la vitesse et de l'accélération dans le repère de Frenet.
| 2- Champs de vecteurs du plan et de l'espace |
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il
convient de donner quelques notions sur les champs de vecteurs du plan et
de l'espace:
- Dérivées partielles, divergence, rotationnel.
- Circulation, intégrale curviligne.
- Potentiel scalaire, caractérisation des champs admettant un potentiel scalaire.
- Formule de Green-Riemann dans le plan.
En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
§ Exemples d'emploi de représentations cartésiennes, paramétriques (en particulier polaires) et implicites pour la recherche de lieux géométriques, l'étude locale et globale des courbes planes. Exemples de tracés de courbes planes.
Exemples d'étude de propriétés métriques de courbes planes (longueur d'un arc, repère de Frenet, courbure¼).
Exemples simples de recherche de courbes planes définies par une condition différentielle.