Cete partie est organisée autour de quatre objectifs:
- Consolider les acquis de la classe de première année sur le produit scalaire, les espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3 et la géométrie euclidienne du plan et de l'espace.
- Étendre ces notions au cas des espaces euclidiens de dimension n; étudier la réduction des endomorphismes autoadjoints dans une base orthonormale.
- Maîtriser les relations entre le point de vue géométrique (vecteurs, endomorphismes autoadjoints, automorphismes orthogonaux) et le point de vue matriciel.
- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes issus de l'algèbre et de l'analyse.
Il convient d'illustrer les notions et les résultats sur les espaces vectoriels euclidiens par de nombreuses figures.
| 1- Espaces préhilbertiens réels ou complexes |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Consolider les notions de base abordées en classe de première année concernant le produit scalaire, la norme associée et l'orthogonalité; introduire le concept de somme directe orthogonale.
- Étendre brièvement ces notions au cas du corps des complexes.
a) Produit scalaire
Produit scalaire sur un R-espace vectoriel; définition d'un espace préhilbertien réel. Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire; norme et distance associées.
Relation entre produit scalaire et norme, polarisation.
L'étude de ces notions doit être illustrée par de nombreux exemples, notamment le produit scalaire canonique de Rn et les produits scalaires usuels sur les espaces de fonctions.
Produit scalaire (x,y)®(x|y) sur un C-espace vectoriel (linéaire à droite, semi-linéaire à gauche); définition d'un espace vectoriel préhilbertien complexe. Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire; norme et distance associées. Relation
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L'étude de ces notions doit être illustrée par de nombreux exemples, et notamment:
- le produit scalaire canonique de Cn;
- (f,g)®(f|g)=ò[a,b][`f] g dans C([a,b]);
- (f,g)®(f|g)=[1/(2p)]ò[0,2p][`f] g dans l'espace vectoriel C2p des fonctions continues 2p-périodiques sur R à valeurs complexes.
b) Orthogonalité
Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectoriels orthogonaux, orthogonal F° (ou F^) d'un sous-espace vectoriel F de E.
Familles orthogonales, familles orthonormales; relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux. Somme directe orthogonale d'une famille finie de sous-espaces vectoriels.
Projecteurs orthogonaux.
Extension des notions précédentes aux espaces préhilbertiens complexes.
| 2- Espaces euclidiens |
Ce chapitre est organisé autour de quatre objectifs:
- Consolider les acquis de première année sur les espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3 (bases orthonormales, automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales) et la géométrie euclidienne du plan et de l'espace (distances, angles, déplacements).
- Étendre au cas des espaces vectoriels euclidiens les notions de base orthonormale, de projection orthogonale, d'automorphisme orthogonal et de matrice orthogonale.
- Étudier de nouveaux concepts: adjoint d'un endomorphisme, endomorphismes autoadjoints, réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles.
- Étendre les notions de base orthonormale et de projection orthogonale au cas des espaces préhilbertiens complexes de dimension finie.
a) Bases orthonormales
Définition d'un espace vectoriel euclidien: espace préhilbertien réel de dimension finie.
Existence de bases orthonormales, complétion d'une famille orthonormale en une base orthonormale.
Isomorphisme de E sur l'espace dual E*.
Toute forme linéaire f sur un espace vectoriel euclidien E s'écrit de manière unique sous la forme f(x)=(a|x) où a est un vecteur de E.
Expressions dans une base orthonormale des coordonnées et de la norme d'un vecteur, du produit scalaire de deux vecteurs, de la distance de deux points.
Extension des notions précédentes au cas d'un espace vectoriel hermitien, c'est-à-dire d'un espace préhilbertien complexe de dimension finie.
b) Projections orthogonales
Dans un espace préhilbertien réel E (de dimension finie ou non), l'orthogonal F° d'un sous-espace vectoriel F de dimension finie est un supplémentaire de ce sous-espace vectoriel, appelé supplémentaire orthogonal de F; définition de la projection orthogonale p[ || F](x) d'un vecteur x de E sur F. Lorsque E est de dimension finie,
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Expression de p[ || F](x) lorsque F est muni d'une base orthonormale (e1,e2,¼,en):
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Définition de la distance d (x,F) d'un élément x de E à F. Expression de cette distance à l'aide de p[ || F](x): la fonction qui, à tout élément z de F associe ||x-z|| atteint son minimum en un point et un seul, à savoir p[ || F](x); relation
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Inégalité de Bessel:
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Extension des notions précédentes au cas des espaces préhilbertiens complexes.
c) Adjoint d'un endomorphisme
Dans ce paragraphe, les espaces vectoriels considérés sont des espaces euclidiens.
Définition de l'adjoint u* d'un endomorphisme u de E par la relation (u*(x)|y)=(x|u(y)); existence et unicité de l'adjoint. Matrice associée à u* dans une base orthonormale.
L'application u® u* est un automorphisme involutif de l'espace vectoriel L(E); relation (uv)*=v*u*.
Définition d'un endomorphisme autoadjoint (ou symétrique) u par la relation (u(x)|y)=(x|u(y)). Les endomorphismes autoadjoints constituent un sous-espace vectoriel de L(E).
Caractérisation par la relation u*=u. Caractérisation des projecteurs orthogonaux par les relations p2=p et p*=p.
Définition d'un automorphisme orthogonal d'un espace vectoriel euclidien E (c'est-à-dire un automorphisme de E conservant le produit scalaire). Caractérisation à l'aide de la conservation de la norme.
Caractérisation d'un automorphisme orthogonal par l'image d'une (de toute) base orthonormale.
Caractérisation des automorphismes orthogonaux par la relation u*u=uu*=I[ || E].
Définition du groupe orthogonal O(E); symétries orthogonales, réflexions.
L'étude générale du groupe orthogonal est hors programme.
Définition des matrices orthogonales et du groupe orthogonal O (n).
Caractérisation des matrices orthogonales par leurs vecteurs colonnes.
Les matrices orthogonales sont définies à partir de l'automorphisme de Rn associé. Caractérisation des matrices orthogonales par l'une des relations
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Caractérisation d'un endomorphisme autoadjoint, d'un automorphisme orthogonal, à l'aide de la matrice associée dans une (toute) base orthonormale. Changement de base orthonormale.
Déterminant d'une matrice orthogonale, d'un automorphisme orthogonal; déterminant d'une réflexion.
La notion de rotation ne figure au programme qu'en dimensions 2 et 3.
d) Réduction des endomorphismes autoadjoints
Soit u un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien E. Alors E est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de u; en particulier, u est diagonalisable dans une base orthonormale.
Diagonalisation d'une matrice symétrique au moyen d'une matrice orthogonale.
| Travaux pratiques |
§ Exemples de construction et d'emploi de bases orthonormales et de supplémentaires orthogonaux.
Il convient d'exploiter les espaces vectoriels Rn et Cn ainsi que les espaces vectoriels de polynômes et de fonctions.
Exemples de calcul et d'emploi de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, de la distance à un tel sous-espace.
Il convient notamment d'exploiter l'approximation des fonctions.
Exemples d'étude et d'emploi de suites de polynômes orthogonaux.
Aucune connaissance spécifique sur les propriétés des polynômes orthogonaux n'est exigible des étudiants.
Exemples de réduction d'endomorphismes et de matrices en base orthonormale.
Il convient de mettre en valeur les applications à l'analyse et à la géométrie euclidienne.
Recherche d'une équation réduite d'une conique définie par une équation cartésienne dans un repère orthonormal.