L'objectif de cette partie est triple:

- Approfondir l'étude des séries de nombres réels ou complexes: comparaison à une intégrale; produit de Cauchy.

- Étudier les propriétés élémentaires des séries entières et des séries de Fourier.

- Exploiter la représentation des fonctions par des séries entières ou des séries de Fourier pour l'étude de fonctions définies comme solutions d'une équation, en relation avec l'enseignement des autres disciplines scientifiques.

1. Séries de nombres réels ou complexes
2. Séries entières
3. Séries de Fourier
4. Travaux pratiques

1- Séries de nombres réels ou complexes

a) Comparaison d'une série à une intégrale

Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une intégrale: étant donnée une fonction f continue par morceaux sur [0,+¥[ à valeurs réelles positives décroissante, la série de terme général

wn= ó õ n n-1  f(t) dt-f(n)

est convergente. En particulier la série åf(n) converge si et seulement si f est intégrable sur [0,+¥[.

La relation w_n=ò_n-1ⁿ[f(t)-f(n)] dt permet d'encadrer w_n; un encadrement analogue peut être obtenu lorsque f est croissante. En outre, lorsque f est de classe C¹, une intégration par parties permet d'écrire w_n sous la forme

wn=- ó õ n n-1  (t-n+1) f¢(t) dt.

Équivalent de n! (formule de Stirling).

La démonstration de la formule de Stirling n'est pas exigible des étudiants.

b) Produit de deux séries absolument convergentes

Définition du produit de Cauchy de deux séries åu_n et åv_n de nombres complexes:

wn= å p+q=n  up vq.

Si les séries åu_n et åv_n sont absolument convergentes, la série åw_n l'est aussi.

Dans ces conditions,

+¥ å n=0  wn= æ è +¥ å p=0  up ö ø   æ è +¥ å q=0  vq ö ø .

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.

2- Séries entières

L'objectif de ce chapitre est double:

- Étudier la convergence d'une série entière et les propriétés de sa somme, grâce au concept fondamental de rayon de convergence.

- Introduire la notion de développement d'une fonction en série de Taylor, notamment pour le développement en série entière des fonctions élémentaires.

En ce qui concerne le développement de t®e^tz où t est réel et z complexe, il s'agit d'établir que cette fonction, déjà étudiée en première année, est aussi égale à t®exptz, définie à partir de la série exponentielle d'un nombre complexe.

Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes.

a) Rayon de convergence d'une série entière

Série entière åa_nzⁿ d'une variable complexe z associée à une suite (a_n) de nombres complexes: définition du rayon de convergence R (fini ou non).

L'étude de la série sur le cercle |z|=R est hors programme.

Étant donné un nombre réel r > 0 tel que |a_n|rⁿ soit borné, alors pour tout nombre complexe z tel que |z| < r, |a_nzⁿ| est dominé par ([(|z|)/(r)])ⁿ.

La série est absolument convergente sur le disque (ouvert) de convergence. Elle est normalement convergente sur tout compact du disque de convergence; continuité de la somme sur le disque de convergence.

Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy de deux séries entières. Linéarité de la somme, somme du produit de Cauchy.

Relation

exp(z+z¢)=expz expz¢.

b) Séries entières d'une variable réelle

Étant donnée une série entière åa_ntⁿ d'une variable réelle t dont le rayon de convergence R est strictement positif, une primitive sur l'intervalle ]-R,R[ de la somme f de cette série s'obtient en intégrant terme à terme.

Invariance du rayon de convergence d'une série entière par intégration terme à terme, par dérivation terme à terme.

La somme f d'une série entière åa_ntⁿ dont le rayon de convergence R est strictement positif est une fonction de classe C^¥ sur ]-R,R[. En outre, pour tout k ³ 1, D^kf s'obtient par dérivation terme à terme.

En particulier, pour tout entier k positif ou nul,

ak= 1 k!  Dkf(0).

Définition d'une fonction développable en série entière sur un intervalle ]-r,r[, où r > 0.

Définition de la série de Taylor d'une fonction f de classe C^¥ sur un intervalle ]-r,r[, où r > 0.

Développement en série de Taylor de e^tz où z est complexe, de sint, de cost. Développement de ln(1+t), de (1+t)^a où a est réel.

3- Séries de Fourier

L'objectif de ce chapitre est triple:

- Étudier les coefficients de Fourier d'une fonction f périodique, et notamment leur comportement asymptotique en fonction de la régularité de f.

- Étudier la convergence en moyenne quadratique des sommes partielles S_p(f) de la série de Fourier de f en utilisant la structure d'espace préhilbertien.

- Étudier la convergence ponctuelle des sommes S_p(f): convergence normale, théorème de Dirichlet.

Il convient d'exploiter l'interprétation en termes d'analyse harmonique des signaux périodiques.

Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont à valeurs complexes, 2p-périodiques et continues par morceaux sur R. Le cas des fonctions T-périodiques s'y ramène par changement de variable.

a) Coefficients de Fourier

Espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes 2p-périodiques continues par morceaux sur R.

Définition d'une fonction 2p-périodique continue par morceaux f à partir d'une fonction g continue par morceaux sur un segment de longueur 2p.

Intégrale sur une période d'une fonction f à valeurs complexes 2p-périodique continue par morceaux sur R.

Définition des coefficients de Fourier d'une telle fonction:

^ f   (n)=cn(f)= 1 2p   ó õ p -p  f(t) e-\hii nt dt.

Expression des coefficients de Fourier sous forme de cosinus et de sinus.

Coefficients de Fourier de [`f]; cas d'une fonction à valeurs réelles. Coefficients de Fourier de t® f(-t); cas d'une fonction paire, d'une fonction impaire. Effet d'une translation: coefficients de Fourier de t® f(t+a).

Pour tout entier naturel p, définition de la somme partielle:

Sp(f)(x)= p å n=-p  cn(f) e\hii nx.

Lorsque qu'en un point x de R les sommes partielles S_p(f) convergent, la série de Fourier est dite convergente au point x et la somme de la série de Fourier est, par définition, la limite des sommes S_p(f)(x).

L'application F qui à f associe [^f] est linéaire. La suite [^f] est bornée et ||[^f]||_¥ £ ||f||₁.

Par définition ||f||₁=[1/(2p)] ò_-p^p|f(t)|  dt.

Coefficients de Fourier d'une dérivée: si f est 2p-périodique continue sur R et de classe C¹ par morceaux sur R, alors

cn(Df)=in cn(f).

Extension au cas où f est de classe C^k-1 sur R et de classe C^k par morceaux sur R.

Si f est 2p-périodique de classe C^k-1 sur R et de classe C^k par morceaux sur R, alors c_n(f) est dominée par |n|^-k au voisinage de l'infini.

b) Convergence en moyenne quadratique.

Dans ce paragraphe, on considère des fonctions 2p-périodiques continues sur R. Il convient d'effectuer une brève extension au cas des fonctions continues par morceaux; les démonstrations concernant cette extension ne sont pas exigibles des étudiants.

Produit scalaire (f,g)®(f|g)=[1/(2p)]ò_-p^p[`f](t) g(t) dt sur l'espace vectoriel C_2p des fonctions 2p-périodiques continues sur R; norme associée f®||f||₂.

Les fonctions t® e_n(t)=e^{\hii nt}, où n parcourt Z, forment une famille orthonormale et, pour tout n, c_n(f)=(e_n|f).

La projection orthogonale d'un élément f de C_2p sur le sous-espace vectoriel P_p engendré par les e_n, où |n| £ p, est la somme partielle S_p(f).

Relation

||f||2=(||Sp(f)||2)2+d (f,Pp)2.

En particulier, l'application qui à tout élément P de P_p associe ||f-P||₂ atteint son minimum en un point et un seul, à savoir S_p(f).

Inégalité de Bessel:

p å n=-p  |cn(f)|2 £ (||f||2)2.

En particulier, c_n(f) et c_-n(f) tendent vers 0.

Convergence en moyenne quadratique: pour tout élément f de C_2p, les sommes partielles S_p(f) convergent en moyenne quadratique vers f.

L'application linéaire f®[^f] est injective.

Formule de Parseval: expressions du carré de la norme et du produit scalaire à l'aide des coefficients de Fourier.

c) Convergence ponctuelle

Convergence normale: lorsque f est 2p-périodique continue sur R\ et de classe C¹ par morceaux sur R, les sommes å_{n = p}^p|(c_n(f)| sont majorées. Dans ces conditions, les sommes partielles S_p(f) de la série de Fourier de f convergent uniformément vers f sur R.

En particulier, pour tout nombre réel x, la série de Fourier de f converge en ce point, et sa somme est égale à f(x).

Théorème de Dirichlet: soit f une fonction 2p-périodique de classe C¹ par morceaux sur R, alors pour tout nombre réel x, la série de Fourier de f converge en ce point et sa somme est égale à ¹/₂lim_h[f(x+h)+f(x-h)] où h tend vers 0, h > 0. En particulier, en tout point x où f est continue, la somme de la série de Fourier de f est égale à f(x).

La démonstration du théorème de Dirichlet n'est pas exigible des étudiants.

Travaux pratiques

§ Pour une série de nombres réels positifs, exemples d'encadrement du reste d'une série convergente, des sommes partielles d'une série divergente; exemples de recherche de valeurs approchées de la somme d'une série convergente.

Il convient notamment d'exploiter la comparaison d'une série à une intégrale.

§ Exemples de recherche et d'emploi de développements en série entière ou en série de Fourier de fonctions d'une variable réelle; exemples d'utilisation de tels développements pour l'approximation d'une fonction.

Il convient de mettre en valeur l'emploi de séries entières et de séries de Fourier pour la recherche et l'étude de solutions d'équations différentielles.