L'objectif de cette partie est très modeste: consolider les acquis de première année (calcul différentiel portant sur les fonctions numériques de deux variables réelles); étendre brièvement ces notions aux applications continûment différentiables sur un ouvert de R^p à valeurs dans Rⁿ, où p £ 3 et n £ 3.

1. Calcul différentiel
2. Calcul intégral
3. Travaux pratiques

1- Calcul différentiel

L'objectif essentiel est d'étudier quelques notions de base: dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, applications continûment différentiables, différentielle, difféomorphismes, gradient, points critiques, dérivées partielles d'ordre supérieur. En revanche, la notion de fonction différentiable en un point est hors programme.

Les applications f considérées dans ce chapitre sont définies sur un ouvert U de R^p et à valeurs dans Rⁿ, où p £ 3 et n £ 3.

Pour l'étude d'une fonction f de plusieurs variables, il convient de mettre en valeur le fait que la plupart des problèmes peuvent se ramener au problème correspondant pour une fonction d'une variable en paramétrant le segment [a,a+h], ce qui permet d'écrire f(a+h)-f(a)=j_h(1)-j_h(0) où, pour tout t Î [0,1], j_h(t)=f(a+th).

a) Applications continûment différentiables

Définition de la dérivée de f en un point a de U selon un vecteur h, notée D_hf(a). Définition des dérivées partielles, notées D_jf(a) ou [(¶f)/(¶x_j)](a).

Définition des fonctions de classe C¹ (ou continûment différentiables) sur U: les dérivées partielles D_jf sont continues sur U.

Il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément t Î [-d,d], a+th appartienne à U. Si j_h est dérivable à l'origine, on dit que f admet une dérivée au point a de U selon le vecteur h, et l'on pose D_hf(a)=j_h¢(0).

Théorème fondamental: si f est de classe C¹ sur U, alors f admet, en tout point a de U, une dérivée selon tout vecteur h, et

Dhf(a)= p å j=1  hjDjf(a).

En particulier, l'application h®D_hf(a) est une application linéaire, appelée différentielle de f au point a et notée df(a).

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.

Pour une application de classe C¹, matrice jacobienne; lorsque n=p, jacobien. Si f et g sont deux applications de classe C¹, leur composée l'est aussi; difféomorphismes de classe C¹. Opérations algébriques sur les applications de classe C¹.

Matrice jacobienne d'une application composée ou d'une application réciproque.

Caractérisation d'une application de classe C¹ sur U à valeurs dans Rⁿ par ses coordonnées.

Les coordonnées des dérivées partielles sont les dérivées partielles des cordonnées.

Dérivée d'une fonction composée de la forme f°j, où j est une fonction de classe C¹ sur un intervalle I et à valeurs dans U.

Lorsque f est un difféomorphisme, l'image f(G) d'une courbe paramétrée G régulière à l'ordre 1 est une courbe régulière à l'ordre 1; détermination d'une tangente à f(G).

Caractérisation à l'aide du jacobien des difféomorphismes parmi les applications injectives de classe C¹.

La démonstration de ce résultat est hors programme.

b) Fonctions numériques continûment différentiables

Algèbre C¹(U) des fonctions de classe C¹ sur U.

Dans l'espace euclidien R^p, le gradient de f est défini par

df(a)(h)=Dhf(a)=(gradf(a)|h).

Coordonnées du gradient.

Points critiques d'une fonction numérique de classe C¹; condition nécessaire d'existence d'un extrémum local.

c) Dérivées partielles d'ordre k ³ 2

Théorème de Schwarz pour une fonction de classe C² sur U.

Algèbre C^k(U) des fonctions de classe C^k sur U.

La démonstration du théorème de Schwarz est hors programme.

d) Coordonnées polaires

Repère polaire ([u\vec],[v\vec]) du plan euclidien R² défini, pour tout nombre réel q, par:

® u    (q)=  cosq   ® e1   +sinq   ® e2   ,

® v    (q)=-sinq   ® e1   +cosq   ® e2

où ([(e₁)\vec],[(e₂)\vec]) est la base canonique de R².

Coordonnées polaires d'un point de R².

Relations

d  ® u   d q = ® v   ,    d  ® v   d q =- ® u   .

Expression des coordonnées du gradient d'une fonction à valeurs réelles f de classe C¹ en fonction des dérivées partielles de la fonction

(r,q)® F(r,q) = f(r cosq,r sinq).

e) Notions sur les courbes et les surfaces

Dans ce paragraphe, les courbes du plan ou de l'espace et les surfaces sont définies par paramétrages ou par équations cartésiennes. Aucune difficulté ne peut être soulevée sur l'équivalence de ces définitions.

L'objectif, très modeste, est d'introduire la notion de tangente à une courbe plane définie par une équation cartésienne F(x,y)=0, et de plan tangent à une surface définie par une équation cartésienne F(x,y,z)=0.

L'étude des courbes d'une surface définies par des conditions différentielles est hors programme.

Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions étudiées dans ce paragraphe. Toutes les formes du théorème des fonctions implicites utiles pour traiter ce paragraphe sont admises.

Définition d'un point régulier d'une surface définie par paramétrage (u,v)® f(u,v), où f est de classe C¹ sur un ouvert U de R² à valeurs dans R³. Plan tangent, normale.

Tangente à l'intersection de deux surfaces en un point régulier où les deux plans tangents sont distincts.

Définition d'un point régulier d'une courbe plane définie par une équation cartésienne F(x,y)=0, où F est à valeurs réelles et de classe C¹ sur un ouvert U de R². Tangente, normale. Cas d'une surface.

2- Calcul intégral

a) Intégrales doubles

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur les intégrales doubles et triples:

- Intégrales doubles: linéarité, croissance, additivité par rapport au domaine d'intégration, calcul par intégrations successives, exemples simples de changements de variables.

- Brève extension aux intégrales triples.

- Exemples d'applications aux calculs d'aires planes, de volumes, de masses, de centres et de moments d'inertie.

En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.

b) Champs de vecteurs du plan et de l'espace

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur les champs de vecteurs du plan et de l'espace: divergence, rotationnel, circulation, potentiel scalaire, formule de Green-Riemann dans le plan.

En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.

Travaux pratiques

Exemples d'emploi de coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.

§ Exemples de recherche d'extrémums locaux ou globaux.

Exemples de recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles par séparation ou changement de variables.

§ Exemples de représentation d'une surface à l'aide d'une famille de sections planes.