Cette partie figure au programme de la seconde période.

Elle constitue une première prise de contact avec les fonctions de plusieurs variables; toute technicité est à éviter aussi bien pour la présentation du cours qu'au niveau des exercices et problèmes.

L'objectif, très modeste, est double:

- Étudier quelques notions de base sur les fonctions de deux variables réelles (continuité et dérivation).

- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes, issus notamment des autres disciplines scientifiques.

En vue de l'enseignement de ces disciplines, il convient d'étendre brièvement ces notions aux fonctions de trois variables réelles. Mais, en mathématiques, les seules connaissances exigibles des étudiants ne portent que sur les fonctions de deux variables.

Les suites d'éléments de R² et les fonctions d'une variable réelle à valeurs dans R² ont déjà été étudiées en se ramenant aux suites et fonctions à valeurs réelles par passage aux coordonnées (cf. chapitres I.4 et II.4).

Il convient de mettre en valeur le fait que la plupart des problèmes concernant les fonctions de deux variables réelles peuvent se ramener aux problèmes correspondant aux fonctions d'une variable en paramétrant le segment [a,a+h], ce qui permet d'écrire f(a+h)-f(a) = j_h(1)-j_h(0) où, pour tout t Î [0,1], j_h(t) = f(a+th).

1. Espace R², fonctions continues
2. Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul différentiel
3. Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul intégral
4. Travaux pratiques

1- Espace R2, fonctions continues

Les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur une partie A de R². Pour la pratique, on se limite aux cas où A est définie par des conditions simples.

Pour définir la notion de limite, on procède comme pour les fonctions d'une variable réelle.

a) Espace R²

Norme ||x||_¥=sup (|x₁|,|x₂|). Équivalence de cette norme avec la norme euclidienne ||x||₂. Définition des parties bornées de R².

L'étude générale des normes sur R² est hors programme.

Définition des parties ouvertes de R².

Les opérations sur les ouverts, ainsi que les notions de partie fermée, de voisinage, d'intérieur et d'adhérence d'une partie sont hors programme.

b) Fonctions continues de deux variables

Algèbre des fonctions définies sur A et à valeurs réelles. Applications partielles associées à une telle fonction.

Limite et continuité en un point a d'une fonction définie sur un ouvert U et à valeurs réelles.

Il convient de montrer, sur un exemple simple, que la continuité des applications partielles n'implique pas la continuité, mais l'étude de la continuité partielle est hors programme.

Algèbre des fonctions continues sur U et à valeurs réelles.

Extension des notions de limite et de continuité à une application de U dans R²; caractérisation à l'aide des coordonnées.

Continuité d'une application composée.

2- Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul différentiel

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un ouvert U de R² et à valeurs réelles.

L'objectif essentiel est d'introduire quelques notions de base: dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, développement limité à l'ordre 1, gradient et de les appliquer aux extremums locaux et aux coordonnées polaires; en revanche, les notions de fonction différentiable et de différentielle en un point sont hors programme.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient d'étendre brièvement ces notions au cas où f est définie sur un ouvert de R³ et de définir les coordonnées cylindriques et sphériques mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ces points n'est exigible des étudiants.

a) Dérivées partielles premières

Définition de la dérivée de f en un point a de U selon un vecteur h, notée D_hf(a). Définition des dérivées partielles, notées D_jf(a) ou [(¶f)/(¶x_j)](a).

Il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément t Î [-d,d], a+th appartienne à U; on pose alors j_h(t)=f(a+th). Si j_h est dérivable à l'origine, on dit que f admet une dérivée au point a de U selon le vecteur h, et l'on pose D_hf(a)=j_h¢(0).

Définition des fonctions de classe C¹ sur U (pour tout vecteur h, x®D_h(f)(x) est continue sur U).

Théorème fondamental: si les dérivées partielles sont continues sur U, alors f admet, en tout point a de U, un développement limité à l'ordre un, ainsi qu'une dérivée selon tout vecteur h, et

Dhf(a)=h1D1f(a)+h2D2f(a).

En particulier, f est de classe C¹ sur U et l'application h®D_hf(a) est une forme linéaire. Le gradient de f est défini, dans le plan euclidien R², par la relation

Dhf(a)=(gradf(a)|h).

La démonstration de ce résultat est hors programme.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner la notation différentielle df, mais aucune connaissance sur ce point n'est exigible en mathématiques.

Algèbre C¹(U) des fonctions de classe C¹ sur U.

Dérivée d'une fonction composée de la forme f°j, où j est de classe C¹ sur un intervalle I et à valeurs dans U.

Application au calcul des dérivées partielles d'une fonction composée de la forme f°j, où j est une application de classe C¹ sur un ouvert V de R² et à valeurs dans U.

En un point de U où une fonction f de classe C¹ sur U présente un extremum local, ses dérivées partielles sont nulles.

b) Dérivées partielles d'ordre k ³ 2

Théorème de Schwarz pour une fonction de classe C² sur U.

La démonstration du théorème de Schwarz, ainsi que tout énoncé concernant les formules de Taylor ou les conditions suffisantes d'existence d'extremums, sont hors programme.

c) Coordonnées polaires

Repère polaire ([u\vec],[v\vec]) du plan euclidien R² défini, pour tout nombre réel q, par:

® u    (q)=  cosq   ® e1   +sinq   ® e2   ,

® v    (q)=-sinq   ® e1   +cosq   ® e2

où ([(e₁)\vec],[(e₂)\vec]) est la base canonique de R².

Coordonnées polaires d'un point de R².

Relations

d  ® u   d q = ® v   ,    d  ® v   d q =- ® u   .

Expression des coordonnées du gradient d'une fonction à valeurs réelles f de classe C¹ en fonction des dérivées partielles de la fonction

(r,q)® F(r,q) = f(r cosq,r sinq).

3- Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul intégral

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur les intégrales doubles et triples:

- Intégrales doubles sur une partie bornée définie par des conditions simples.

- Linéarité, croissance, additivité par rapport au domaine d'intégration.

- Exemples de calcul d'intégrales doubles par intégrations successives.

- Exemples simples de changements de variables: changement de variables affine, passage en coordonnées polaires.

- Brève extension aux intégrales triples.

- Exemples d'applications aux calculs d'aires planes, de volumes, de masses, de centres et de moments d'inertie.

En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.

Travaux pratiques

Exemples de calcul et d'emploi de dérivées partielles.

Exemples de recherche d'extremums.