L'objectif de cette partie est triple:
- Consolider les acquis de première année: calcul différentiel portant sur les fonctions numériques de deux variables réelles.
- Étendre les notions de base du calcul différentiel aux applications continûment différentiables sur un ouvert de Rp à valeurs dans Rn, en relation avec la géométrie différentielle et l'analse vectorielle.
- Effectuer une étude élémentaire des formes différentielles de degré 1 (intégrales curvilignes, primitives) en relation avec l'étude des champs de vecteurs, la mécanique et la physique.
| 1- Calcul différentiel |
L'objectif essentiel est d'étudier quelques notions de base: dérivée
selon un vecteur, dérivées partielles, applications continûment
différentiables, différentielle, difféomorphismes, gradient, points
critiques. En revanche, la notion de fonction différentiable en un point
est hors programme.
Le programme comporte en outre quelques notions sur les dérivées partielles d'ordre supérieur.
Les applications f considérées dans ce chapitre sont définies sur un ouvert U de E à valeurs dans F, où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie. Pour la pratique, le programme se limite au cas où dimE £ 3, dimF £ 3 et où f est de classe C1. L'étude de fonctions différentiables non de classe C1 est hors programme.
Pour l'étude d'une fonction f de plusieurs variables, il convient de mettre en valeur le fait que la plupart des problèmes peuvent se ramener au problème correspondant pour une fonction d'une variable en paramétrant le segment [a,a+h], ce qui permet d'écrire f(a+h)-f(a)=jh(1)-jh(0) où, pour tout t Î [0,1], jh(t)=f(a+th).
a) Applications continûment différentiables
Définition d'une fonction f différentiable en un point a de U et de l'application linéaire tangente à f en a, appelée aussi différentielle de f au point a et notée df(a).
Interprétation en termes de développement limité de f à l'ordre 1.
Définition de la dérivée de f en un point a de U selon un vecteur h, notée Dhf(a). Définition des dérivées partielles dans une base de E, notées Djf(a) ou [(¶f)/(¶xj)](a).
Il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout t Î [-d,d], a+th appartienne à U; on pose alors jh(t)=f(a+th). Si jh est dérivable à l'origine, on dit que f admet une dérivée en a selon h, et l'on pose Dhf(a)=jh¢(0).
Définition des fonctions de classe C1 (ou continûment différentiables) sur U: les dérivées partielles Djf sont continues sur U.
Théorème fondamental: si les dérivées partielles Djf sont continues sur U, alors f est différentiable en tout point a de U.
La démonstration de ce résultat n'est pas exigible des étudiants.
Si f et g sont deux applications de classe C1, leur composée g°f l'est aussi; différentielle de g°f. Définition d'un difféomorphisme de classe C1. Opérations algébriques sur les applications de classe C1.
Caractérisation d'une application f de classe C1 sur U à valeurs dans Rn par ses coordonnées fi; en outre, les fonctions Djfi sont les coordonnées de Djf.
Pour une application de classe C1, matrice jacobienne; lorsque n=p, jacobien.
Matrice jacobienne d'une application composée ou d'une application réciproque.
Dérivée d'une fonction composée de la forme f°j, où j est une fonction de classe C1 sur un intervalle I et à valeurs dans U.
Lorsque f est un difféomorphisme, l'image f(G) d'une courbe paramétrée G régulière à l'ordre 1 est une courbe régulière à l'ordre 1; détermination d'une tangente à f(G).
Caractérisation à l'aide du jacobien des difféomorphismes parmi les applications injectives de classe C1.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
b) Fonctions numériques continûment différentiables
Algèbre C1(U) des fonctions de classe C1 sur U.
Dans l'espace euclidien Rp, le gradient de f est défini par
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Coordonnées du gradient.
Lorque l'ouvert U est convexe, inégalité des accroissements finis pour une fonction numérique de classe C1 sur U.
Caractérisation des fonctions constantes sur l'ouvert U.
Points critiques d'une fonction numérique de classe C1; condition nécessaire d'existence d'un extrémum local.
c) Dérivées partielles d'ordre k ³ 2
Théorème de Schwarz pour une fonction de classe C2 sur U.
Algèbre Ck(U) des fonctions de classe Ck sur U.
Les opérateurs différentiels Dj sont des applications linéaires de Ck(U) dans Ck-1(U), où 1 £ k < +¥.
La démonstration du théorème de Schwarz est hors programme.
d) Coordonnées polaires
Repère polaire ([u\vec],[v\vec]) du plan euclidien R2 défini, pour tout nombre réel q, par:
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Coordonnées polaires d'un point de R2.
Relations [d [u\vec]/(d q)]=[v\vec], [d [v\vec]/(d q)]=-[u\vec].
Expression des coordonnées du gradient d'une fonction à valeurs réelles f de classe C1 en fonction des dérivées partielles de la fonction
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e) Notions sur les courbes et les surfaces
Dans ce paragraphe, les courbes du plan ou de l'espace et les surfaces sont définies par paramétrages ou par équations cartésiennes. Aucune difficulté ne peut être soulevée sur l'équivalence de ces définitions.
L'objectif, très modeste, est d'introduire la notion de tangente à une courbe plane définie par une équation cartésienne F(x,y)=0, et de plan tangent à une surface définie par une équation cartésienne F(x,y,z)=0.
L'étude des courbes d'une surface définies par des conditions différentielles est hors programme.
Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions étudiées dans ce paragraphe. Toutes les formes du théorème des fonctions implicites utiles pour traiter ce paragraphe sont admises.
Définition d'un point régulier d'une surface définie par paramétrage (u,v)® f(u,v), où f est de classe C1 sur un ouvert U de R2 à valeurs dans R3. Plan tangent, normale.
Tangente à l'intersection de deux surfaces en un point régulier où les deux plans tangents sont distincts.
Définition d'un point régulier d'une courbe plane définie par une équation cartésienne F(x,y)=0, où F est à valeurs réelles et de classe C1 sur un ouvert U de R2. Tangente, normale. Cas d'une surface.
| 2- Calcul intégral |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Consolider les acquis de première année concernant les intégrales doubles à travers la pratique de problèmes.
- Éffectuer une étude élémentaire des formes différentielles de degré 1.
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient d'effectuer une brève extension du calcul intégral aux intégrales triples mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.
a) Intégrales doubles
Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur les notions introduites dans ce paragraphe.
Intégrale double d'une fonction à valeurs réelles ou complexes définie et continue sur une partie compacte définie par des conditions simples (rectangles, secteurs circulaires¼).
Aucune connaissance sur l'intégration sur des parties non compactes n'est exigible des étudiants.
Formule de Fubini: expressions de l'intégrale double sur un rectangle à l'aide de deux intégrations successives.
Formule de changement de variables dans une intégrale double; cas du passage en coordonnées polaires.
La démonstration de ces deux résultats est hors programme.
b) Intégrales curvilignes
Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur la notion de forme différentielle.
Définition d'une forme différentielle w de degré 1 de classe Ck sur un ouvert U de Rp. Définition d'une primitive sur U d'une telle forme; définition d'une forme exacte sur U.
Interprétation en termes de champs de vecteurs.
Écriture w = åj=1paj dxj.
Intégrale curviligne de w sur un arc orienté G de U, notation òGw.
Calcul de l'intégrale curviligne d'une forme exacte à l'aide d'une primitive de w.
Définition d'une forme de classe C1 fermée sur U. Toute forme de classe C1 exacte sur U est fermée sur U. Réciproque lorsque l'ouvert U est étoilé.
La démonstration de cette réciproque n'est pas exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples d'emploi de coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.
§ Exemples de recherche d'extrémums locaux ou globaux.
Exemples de recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles par séparation ou changement de variables.
Exemples de calculs d'intégrales curvilignes et de recherche d'un potentiel scalaire pour un champ de vecteurs.
Exemples de calculs d'intégrales doubles et d'aires planes.
§ Exemples de représentation d'une surface à l'aide d'une famille de sections planes.