| APPROFONDISSEMENT DE LA FORMATION EN MATHÉMATIQUES |
Dans les classes PSI*, qui préparent principalement aux carrières de
l'enseignement supérieur, de la recherche et des grands corps techniques de
l'État, il convient de permettre aux étudiants d'approfondir leur
formation en mathématiques, sur la base des objectifs de formation et du
programme de mathématiques communs aux classes PSI et PSI*.
Cet approfondissement spécifique aux classes PSI* concerne aussi bien le travail de la classe que le travail personnel des étudiants. Il porte conjointement sur l'étude des concepts, des résultats et des méthodes essentiels et sur la maîtrise de la démarche mathématique. Il se réfère à un objectif de développement de la réflexion personnelle des étudiants et de leurs capacités d'autonomie intellectuelle. En revanche, cet approfondissement ne doit en aucun cas conduire à des dépassements de programme prenant la forme d'une étude de chapitres supplémentaires ou d'une anthologie d'exemples et d'exercices, tant en ce qui concerne l'enseignement que les épreuves d'évaluation.
1- En ce qui concerne les objectifs de formation, cet
approfondissement spécifique aux classes PSI* s'effectue sur la base
des objectifs communs aux classes PSI et PSI*, selon les lignes
directrices suivantes:
- stimuler l'imagination et l'intuition des étudiants en leur proposant des
questions mathématiques consistantes, dont l'énoncé est présenté de manière
ouverte et dont la résolution fait appel à leur initiative pour le choix
des méthodes à utiliser;
- conjointement, exploiter toute la richesse de la démarche et du raisonnement mathématique, en entraînant les étudiants à se poser des questions, analyser un problème, formuler des conjectures, expérimenter sur des exemples, mettre en place un schéma de démonstration, et rédiger enfin une solution rigoureuse;
- développer la maîtrise de la démonstration, en promouvant la réflexion personnelle des étudiants sur ses différentes phases: l'analyse des définitions, des hypothèses et des conclusions, la mise en lumière de schémas directeurs possibles pour la démonstration et la mise en oeuvre rigoureuse d'un tel schéma;
- renforcer la maîtrise des concepts, des résultats et des méthodes, grâce à une analyse critique de leurs conditions de validité et à une étude synthétique de leur portée et de leur architecture;
- valoriser l'interaction entre, d'une part, l'étude des phénomènes et des problèmes mathématiques et, d'autre part, la construction et la mise en oe uvre des concepts théoriques, mettant ainsi en évidence le rôle central joué par le questionnement scientifique pour le développement des mathématiques, ainsi que leur dimension culturelle et historique;
- développer les capacités d'analyse et de synthèse des étudiants, notamment grâce à l'étude de thèmes mathématiques faisant appel à différentes parties du programme, et à la lecture personnelle de textes scientifiques.
2- C'est dans le cadre des lignes directrices précédentes qu'il
convient de placer l'approfondissement spécifique aux classes
PSI* de certains points des contenus fixés par le programme commun aux
classes PSI et PSI*.
Dans ce cadre, pour les démonstrations repérées comme non exigibles des
étudiants dans ce programme commun, il convient d'augmenter dans les
classes PSI* la part de celles qui sont effectuées en détail.
Dans ce même cadre, les points sur lesquels portent cet approfondissement
et les références correspondantes au programme commun sont précisés
ci-dessous.
a) Algèbre et géométrie
- Concernant la réduction des endomorphismes en dimension finie
(cf. paragraphe II.2- d),
l'objectif est d'approfondir la problématique de la réduction.
Dans cette perspective, il convient d'établir que tout endomorphisme
dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable,
et qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement s'il annule un
polynôme scindé.
- Concernant l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien
(cf. paragraphe III.2- c),
l'objectif est de mettre en lumière l'importance de cette notion pour
l'étude des problèmes linéaires issus de l'algèbre et de la
géométrie.
Dans cette perspective, il convient d'étudier le noyau, l'image et le rang
de l'adjoint, d'établir qu'un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien E
est stable par un endomorphisme u si et seulement si son orthogonal est
stable par u*, et de caractériser les endomorphismes auto-adjoints
positifs à l'aide de leur spectre.
b) Analyse et géométrie différentielle
- Concernant les suites et les fonctions, l'objectif est de mettre en évidence
l'importance en analyse de la compacité dans les espaces vectoriels de dimension
finie et de la continuité uniforme (cf. paragraphe I.2- d).
Dans cette perspective, il convient d'établir le théorème de
Bolzano-Weierstrass pour les suites bornées de nombres réels ou
complexes et, plus généralement, pour les suites bornées d'éléments
d'un espace vectoriel de dimension finie, d'en déduire la caractérisation
séquentielle des parties compactes d'un tel espace et d'établir la continuité
uniforme d'une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur
une partie compacte d'un tel espace.
- Concernant les séries (cf. paragraphe I.3- c) et les suites et
séries de fonctions (cf. chapitre I.4), l'objectif est d'élargir
leur champ d'intervention, et de les exploiter notamment pour l'étude
des fonctions à valeurs vectorielles.
Dans cette perspective, il convient d'étendre les notions et les résultats
sur les séries de nombres réels ou complexes au cas des séries
d'éléments d'un espace vectoriel de dimension finie, ainsi que les
notions et les résultats sur les suites et les séries de fonctions
à valeurs réelles ou complexes au cas des suites et des séries de
fonctions à valeurs dans un tel espace. Il convient en outre
de les appliquer à l'étude des séries d'endomorphismes et de
matrices (série géométrique, série exponentielle).
Il convient enfin d'établir les propriétés de l'application
exponentielle t® exptu (dérivation, équation fonctionnelle)
et de les exploiter pour l'étude des équations différentielles
linéaires à coefficients constants.