a) Intentions majeures

Les contenus sont organisés autour de quatre intentions majeures.

- Organiser les programmes autour de quelques notions essentielles, en dégageant les idées majeures et leur portée, en fournissant des outils puissants et efficaces, en évitant toute technicité gratuite, et en écartant les notions qui ne pourraient être traitées que de façon superficielle.

- Donner un rôle très important aux travaux pratiques, dont la fonction est double: indiquer le champ des problèmes et phénomènes mathématiques à étudier en relation avec les concepts figurant au programme; préciser les méthodes et les techniques usuelles exigibles des étudiants. En revanche, les travaux pratiques ne doivent pas conduire à des dépassements de programme prenant la forme d'une anthologie d'exemples dont la connaissance serait exigible des étudiants.

- Mettre en valeur le caractère plurivalent des concepts mathématiques. Cette plurivalence s'inscrit dans un double mouvement: d'une part, l'étude d'un domaine particulier vient enrichir le concept général, grâce au langage et aux méthodes propres à ce domaine; d'autre part, le concept général permet le transfert des connaissances d'un domaine d'application à un autre. C'est dans cette perspective, et à l'opposé de tout dogmatisme, que les structures constituent un outil pour une meilleure compréhension et une meilleure précision de la pensée et fournissent des méthodes pour l'étude des problèmes mathématiques.

- Réaliser un équilibre global entre l'algèbre, l'analyse et la géométrie. Il va de soi, d'ailleurs, que cette séparation traditionnelle n'est qu'une commodité de rédaction et ne doit pas faire oublier les interactions nombreuses et étroites entre ces trois grands domaines des mathématiques. Dans cette intention, les programmes sont présentés selon deux grandes parties: analyse et géométrie différentielle, algèbre et géométrie.

C'est en fonction des objectifs précédents que les programmes sont conçus et que l'horaire hebdomadaire doit être géré. Dans la classe PSI, il est de 10 heures (7 heures de cours et 3 heures de travaux dirigés). Pour valoriser les concepts essentiels et les principales méthodes (comprenant les exemples et contre-exemples qui illustrent leur portée et leurs conditions de validité), il convient de consacrer à leur étude environ 6 heures de cours. Les 4 heures restantes (1 heure de cours et 3 heures de travaux dirigés) sont à consacrer à l'étude de problèmes mathématiques, notamment ceux qui sont indiqués dans les rubriques de travaux pratiques; à cet égard, toute technicité gratuite est à éviter.

b) Secteur de l'analyse et de ses interventions

Dans ce secteur, le programme est organisé autour des concepts fondamentaux de fonction, qui permet de modéliser le comportement des phénomènes continus, et de suite (ou de série), qui permet de modéliser le comportement des phénomènes discrets. Les interactions entre le continu et le discret sont mises en valeur.

Le programme d'analyse combine l'étude des problèmes qualitatifs avec celle des problèmes quantitatifs; il développe conjointement l'étude du comportement global des suites et des fonctions avec celle de leur comportement local ou asymptotique. Pour l'étude des solutions des équations, il combine les problèmes d'existence et d'unicité, les méthodes de calcul exact, les méthodes d'approximation et les algorithmes de mise en oeuvre. Pour l'ensemble de l'analyse, il met l'accent sur les techniques de majoration.

Le programme introduit le concept d'espace vectoriel normé et d'application linéaire continue, afin de fournir un cadre cohérent pour l'étude des suites, des séries et des fonctions et celle des suites et des séries de fonctions. La maîtrise du calcul différentiel et intégral à une variable et de ses interventions en géométrie différentielle plane constitue un objectif essentiel. L'intégration, la représentation des fonctions, notamment par des séries (séries entières, séries de Fourier) et par des intégrales dépendant d'un paramètre, l'approximation des fonctions, l'étude des équations différentielles (notamment des systèmes linéaires), l'étude des fonctions de plusieurs variables (en interaction étroite avec la géométrie différentielle) tiennent une place majeure.

c) Secteur de l'algèbre et de ses interventions

Dans ce secteur, le programme est organisé autour des concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire (points de vue géométrique et matriciel), tandis que l'étude des anneaux et des corps ainsi que l'étude générale des groupes en ont été écartées. Il met en oeuvre les méthodes de l'algèbre linéaire pour la résolution de problèmes issus, non seulement des autres secteurs de l'algèbre, mais aussi de l'analyse et de la géométrie.

Le programme approfondit celui de première année (espaces vectoriels, applications linéaires, algèbres, dimension, rang, calcul matriciel, espaces vectoriels euclidiens, automorphismes orthogonaux du plan et de l'espace) et développe de nouveaux concepts (polynômes d'endomorphismes, valeurs propres et sous-espaces propores, réduction des endomorphismes d'un espace vectoriel et des endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien, réduction des matrices).

d) Secteur de la géométrie et de ses interventions

Une vision géométrique des problèmes imprégne l'ensemble du programme de mathématiques car les méthodes de la géométrie et les apports de son langage (figures, représentations graphiques, interprétations géométriques¼) jouent un rôle capital en algèbre, en analyse et dans leurs domaines d'intervention.

e) Articulation avec la physique, la chimie et les sciences industrielles

En relation étroite avec les concepts propres à la physique, à la chimie et aux sciences industrielles, le programme valorise les interprétations des concepts de l'analyse, de l'algèbre linéaire et de la géométrie en termes de paramètres modélisant l'état et l'évolution de systèmes mécaniques, physiques ou chimiques (mouvement, vitesse et accélération, trajectoires et lignes de niveau, signaux continus ou discrets, mesure des grandeurs mécaniques ou physiques¼). Ces interprétations, conjointement avec les interprétations graphiques et géométriques, viennent en retour éclairer les concepts fondamentaux de l'analyse et de l'algèbre linéaire.

f) Rôle de la pensée algorithmique

En relation avec le programme d'informatique, l'ensemble du programme de mathématiques valorise la démarche algorithmique; il intégre la construction et la mise en forme d'algorithmes et, sur des exemples, la comparaison de leurs performances. En mathématiques, aucune connaissance sur la théorie des algorithmes n'est exigible des étudiants.

Les algorithmes associés aux notions étudiées dans le programme de mathématiques sont mentionnés dans le texte même du programme ou dans les travaux pratiques. En outre, de nombreux travaux pratiques donnent lieu à l'exploitation du logiciel de calcul symbolique et formel étudié dans le programme d'informatique.

g) Emploi des calculatrices

Cet emploi est défini par la réglementation en vigueur. Les étudiants doivent savoir utiliser une calculatrice programmable dans les situations liées au programme de la classe et de la discipline considérées. Cet emploi combine les capacités suivantes, qui constituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles:

- savoir effectuer des opérations arithmétiques sur les nombres réels et savoir comparer deux nombres réels;

- savoir utiliser les touches des fonctions qui figurent au programme de la classe considérée et savoir programmer le calcul des valeurs d'une fonction d'une ou plusieurs variables permis par ces touches;

- savoir programmer une instruction séquentielle, une instruction conditionnelle et une instruction itérative comportant éventuellement un test d'arrêt.