Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un
intervalle de R et à valeurs dans R, C, ou Rm.
| 1- Normes dans Rm |
Norme et distance dans Rm. Définitions des boules, des parties
ouvertes, des parties fermées, des parties bornées.
Limite d'une suite d'éléments à valeurs dans Rm; caractérisation à l'aide des suites coordonnées. Toute suite convergente est bornée. Opérations algébriques.
On admettra que toutes les normes sont équivalentes. Dans la pratique, on utilisera les normes ``sup'' (||x||¥ = max1 £ i £ m|xi|) et euclidienne (||x||2 = Ö{å1 £ i £ m|xi|2}).
| 2- Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles |
a) Dérivée en un point, fonction dérivée
Dérivabilité en un point: dérivée, dérivée à gauche, dérivée à droite.
Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée.
Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter l'interprétation cinématique et graphique de la notion de dérivée en un point.
Définition des applications de classe Ck sur un intervalle I (k entier naturel ou k=¥). Espace vectoriel Ck(I,Rm) des applications de classe Ck de I dans Rm.
Dérivée d'une somme de deux fonctions vectorielles, du produit d'une fonction à valeurs réelles et d'une fonction à valeurs vectorielles.
Pour m=2 ou m=3, et Rm euclidien (éventuellement orienté), dérivées successives d'un produit scalaire, d'un produit vectoriel.
Les étudiants doivent connaître la formule de Leibniz, pour les fonctions du type:
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b) Fonctions de classe C1 par morceaux
Définition des fonctions de classe C1 par morceaux: une fonction f définie sur le segment [a,b] est dite de classe C1 par morceaux sur le segment [a,b] s'il existe une suite finie strictement croissante a0=a < a1 < ... < an=b telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]ai,ai+1[ est prolongeable en une fonction de classe C1 sur [ai,ai+1].
Opérations sur les fonctions de classe C1 par morceaux définies sur le segment [a, b].
Par extension, une fonction f définie sur R et T-périodique est dite de classe C1 par morceaux si sa restriction à un intervalle de la forme [a,a+T] est de classe C1 par morceaux.
c) Formule de Taylor-Young
Développement limité d'ordre p en un point. Opérations sur les développements limités.
Existence d'un développement limité d'ordre p pour une fonction de classe Cp: formule de Taylor-Young.
| 3- Intégrales dépendant d'un paramètre |
| Toutes les démonstrations des résultats de ce paragraphe sont hors programme. |
a) Continuité
Continuité sous le signe ò: soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur A×[a,b], où A est un intervalle de R. Alors la fonction g définie sur A par la relation g(x)=òabf(x,t) dt est continue sur A.
b) Dérivation
Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): lorsque f est continue sur A×[a,b] et admet une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] continue sur A×[a,b], alors g est de classe C1 sur A, et
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Extension aux fonctions de classe Ck.
c) Intégration
Intégration sous le signe ò (formule de Fubini): lorsque f est continue sur A×[a,b], alors pour tout segment [c,d] inclus dans A
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La formule de Fubini est à relier à la notion d'intégrale double abordée en classe de première année.
| 4- Intégrales impropres |
Pour ce qui concerne les intégrales impropres (ou généralisées),
l'objectif du programme est la maîtrise de la convergence absolue
de l'intégrale d'une fonction continue à valeurs réelles ou complexes
sur un intervalle non fermé ou non borné. Le programme part de la
définition générale de la convergence, en raison de la simplicité
de la présentation, mais l'étude de la semi-convergence des intégrales
n'est pas un objectif du programme.
a) Définition d'une intégrale convergente
Si f est une application continue sur [a,b[ l'intégrale òab f(t) dt est convergente, par définition, si òax f(t) dt a une limite finie lorsque x tend vers b, en restant dans [a,b[.
On aura soin de distinguer, dans la présentation, le cas où f est une fonction continue non bornée sur un intervalle [a,b[ borné, et le cas où l'intervalle est non borné (du type [a,+¥[ par exemple).
Définition des intégrales divergentes.
Nature des intégrales:
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b) Intégrales des fonctions positives
Relations entre la convergence ou la divergence des intégrales de f et de g, dans le cas où f £ g, et dans le cas où f ~ g.
c) Intégrales absolument convergentes
Définition d'une intégrale absolument convergente.
Comparaison en module à des fonctions réelles positives, du type: |f| £ g, ou |f| ~ g.
d) Intégrales dépendant d'un paramètre
L'objectif est d'étendre les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe ò, déjà étudiés sur un segment, au cas d'un intervalle I quelconque dont l'origine et l'extrémité (prises dans [`(R)]) sont notées a et b. Les démonstrations de ces théorèmes sont hors programme.
Continuité sous le signe ò: soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur A×I, où A est un intervalle de R telle que, pour tout élément x de A, la fonction t® f(x,t) ait une intégrale absolument convergente sur I, et j une fonction continue positive dont l'intégrale sur I est convergente. Alors si pour tout élément (x,t) de A×I |f(x,t)| £ j(t) (hypothèse de domination), la fonction g définie sur A par la relation g(x)=òabf(x,t) dt est continue sur A.
Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): soit A un intervalle de R et f une fonction vérifiant les hypothèses du théorème précédent et admettant une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] vérifiant elle aussi ces mêmes hypothèses. Alors g est de classe C1 sur A, et
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Extension aux fonctions de classe Ck.
| Travaux pratiques |
Exemples d'étude de la convergence absolue d'intégrales impropres de fonctions continues.
$ Exemples de calculs de valeurs exactes ou approchées d'intégrales et d'intégrales impropres.
Exemples d'études de fonctions définies par une intégrale.