Comme en première année, l'étude théorique est placée dans des hypothèses très larges. Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions étudiées dans ce chapitre.

1. Courbes planes
2. Courbes de l'espace
3. Courbes et surfaces
4. Surfaces usuelles
5. Travaux pratiques

1- Courbes planes

a) Enveloppes

Enveloppe d'une famille de droites définies par une relation a (t) x+b(t) y+c(t) = 0, où a, b et c sont définies et de classe C¹ sur un intervalle I, sur lequel le déterminant

t® ê ê a(t) b(t) a¢(t) b¢(t) ê ê

ne s'annule pas.

b) Développée, développantes

Développée et développantes d'une courbe paramétrée plane.

2- Courbes de l'espace

Tangente et plan normal en un point régulier, plan osculateur en un point birégulier.

Propriétés métriques: longueur d'un arc, abscisse curviligne; repère de Frenet, courbure, torsion en un point trirégulier.

Par convention, si le repère de Frenet est noté (T^®,N^®,B^®), la courbure g et la torsion t sont données par:

g = N®. dT® ds ,    t = -N®. dB® ds

Définition d'une hélice par angle constant entre la tangente unitaire orientée et un vecteur unitaire fixe.

Toute autre propriété de l'hélice est hors programme.

3- Courbes et surfaces

Dans ce paragraphe, les courbes du plan et de l'espace et les surfaces sont définies par paramétrages et par équations cartésiennes. Aucune difficulté ne peut être soulevée sur l'équivalence de ces définitions.

Toutes les formes utiles (pour traiter ce paragraphe) du théorème des fonctions implicites sont admises.

a) Plan tangent

En un point régulier d'une surface, plan tangent, normale. Tangente à l'intersection de deux surfaces en un point où les plans tangents sont distincts.

b) Intersection de deux surfaces

Projection sur un plan de coordonnées d'une courbe définie comme intersection de deux surfaces.

4- Surfaces usuelles

Description des cylindres (génératrices, sections droites), des cônes (sommet, génératrices), des surfaces de révolution (axe, méridienne, parallèles). Plans tangents aux surfaces précédentes. Description des quadriques à partir de leurs équations réduites en repère orthonormal (ellipsoïde, hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes, paraboloïde elliptique, paraboloïde hyperbolique).

Définition d'une surface réglée, plan tangent en un point régulier. Exemples de surfaces développables (même plan tangent en tous les points réguliers d'une génératrice): cylindre, cône, surface engendrée par les tangentes à une courbe gauche.

Aucune autre connaissance sur les surfaces réglées et les surfaces développables n'est exigible des étudiants.

Travaux pratiques

Emploi des coordonnées polaires, cylindriques et sphériques.

$ * Exemples de recherche d'enveloppes de droites dans le plan.

$ * Exemples de représentation de courbes gauches par projection sur des plans de coordonnées.

* Exemples de recherche de courbes planes ou de courbes d'une surface satisfaisant à une condition différentielle (trajectoires orthogonales, lignes de plus grande pente, contours apparents cylindriques et coniques, hélices).

Exemples de génération de surfaces, de recherche de paramétrages ou de mise en équation dans un repère adéquat (surfaces de révolution, surfaces réglées).

* Exemples d'étude de familles de sections planes d'une surface.

$ * Exemples de représentation d'une surface à l'aide de familles de courbes tracées sur la surface.

Exemples de recherche de l'intersection de deux surfaces et de la projection de cette intersection sur un plan de coordonnées. Les critères de décomposition d'une telle intersection sont en dehors du programme.

Exemples de surfaces réglées.

Exemples d'hélices.