Pour l'existence et la recherche de limites de suites ou de fonctions,
il convient d'utiliser les résultats établis dans le cours, de préférence
au recours direct à la définition.
| 1- Nombres réels |
Il est souvent commode d'identifier la droite euclidienne munie d'une
base orthonormale au R-espace vectoriel R, ce qui permet d'exploiter le
langage de la géométrie pour l'étude des nombres réels.
La notion de corps totalement ordonné est hors programme.
a) Corps R des nombres réels
Corps R des nombres réels; relation d'ordre, compatibilité avec l'addition, la multiplication.
La construction du corps des nombres réels est hors programme.
Valeur absolue d'un nombre réel, distance de deux points, valeur absolue d'un produit, d'un quotient.
Inégalité triangulaire
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En particulier, si |u| £ k < 1, alors
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Définition des intervalles de R.
Définition d'un majorant, d'un minorant, du plus grand et du plus petit élément d'une partie.
Définition d'une borne supérieure, d'une borne inférieure.
Il convient de préciser, par des exemples simples, la notion de borne supérieure (qu'elle soit atteinte ou non).
Toute partie majorée non vide admet une borne supérieure.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
Partie entière d'un nombre réel. Valeurs décimales approchées à la précision 10-n; approximation par défaut, par excès.
La notion de développement décimal illimité est hors programme.
b) Groupe R*+
Définition du groupe multiplicatif R*+ des nombres réels strictement positifs. Bijection x®ex (noté également x®expx) de R sur R*+; bijection réciproque y®lny.
La continuité, la dérivabilité et les variations des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont supposées connues, ainsi que leurs équations fonctionnelles.
| 2- Suites de nombres réels |
L'objectif est double:
- Étude du comportement global et asymptotique d'une suite donnée, en relation avec la description de phénomènes discrets.
- Description et mise en oeuvre d'algorithmes d'approximation d'un nombre réel à l'aide de suites et comparaison de leurs performances, en relation avec l'étude des fonctions et les problèmes de mesure de grandeurs géométriques ou physiques.
En ce qui concerne le comportement global et asymptotique d'une suite, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, convergence, divergence¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, vitesse de convergence ou de divergence par comparaison aux suites de référence usuelles¼).
Il convient de mettre en valeur, tant au niveau du cours que des problèmes, le fait que pour étudier la convergence d'une suite un vers un nombre a, il est utile de se ramener à la convergence de un-a vers 0.
Pour la notion de limite d'une suite (un) de nombres réels, on adopte les définitions suivantes:
- Étant donné un nombre réel a, on dit que (un) admet a pour limite si, pour tout nombre réel e > 0, il existe un entier N tel que, pour tout entier n, la relation n ³ N implique la relation |un-a| £ e; le nombre a est alors unique, et on le note limnun. Lorsqu'un tel nombre a existe, on dit que la suite (un) est convergente, ou qu'elle admet une limite finie. Dans le cas contraire, on dit que (un) est divergente.
- On définit de manière analogue la notion de limite lorsque a=+¥ ou a=-¥; on dit alors que la suite (un) diverge vers +¥ ou vers -¥.
Tout vocabulaire topologique est hors programme.
a) Suites de nombres réels
Suites de nombres réels, opérations, relation d'ordre.
Suites majorées, minorées; suites bornées.
Suites monotones, strictement monotones.
Pour la présentation du cours, le programme se place dans le cadre des suites indexées par N. On effectue ensuite une brève extension aux autres cas usuels.
b) Limite d'une suite
Limite d'une suite, convergence et divergence.
Lorsque a Î R, la relation un® a équivaut à un-a®0.
Toute suite convergente est bornée.
Toute suite de nombres réels convergeant vers un nombre réel strictement positif est minorée, à partir d'un certain rang, par un nombre réel strictement positif.
Somme de deux suites convergeant vers 0; produit d'une suite bornée et d'une suite convergeant vers 0.
Opérations algébriques sur les limites; compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre.
Si |un| £ an et an®0, alors un®0.
Si vn £ un £ wn, et si vn®a et wn®a, alors un®a.
Si vn £ un et si vn®+¥, alors un®+¥.
Toute suite croissante majorée (un) converge et
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Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter la notion de suite dichotomique d'intervalles, ainsi que celle de suites adjacentes.
c) Relations de comparaison
Étant donnée une suite (an) de nombres réels non nuls, définition d'une suite (un) de nombres réels négligeable devant (an).
La notation de Landau un=o(an) n'est pas exigible des étudiants. Son utilisation doit être très progressive.
Caractérisation à l'aide du quotient [(un)/(an)].
Définition de l'équivalence de deux suites (un) et (vn) de nombres réels non nuls. Équivalent d'un produit, d'un quotient.
Si un=an+wn, où wn est négligeable devant an, alors un ~ an.
Notation un ~ vn.
Caractérisation à l'aide du quotient [(un)/(vn)].
Si un ~ vn, alors, à partir d'un certain rang, le signe de un est égal à celui de vn.
Comparaison des suites de référence:
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Les développements asymptotiques sont à étudier sur quelques exemples simples. Toute étude systématique est exclue; en particulier, la notion générale d'échelle de comparaison est hors programme.
| 3- Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles |
L'objectif est double:
- Étude du comportement global et local d'une fonction donnée, en relation avec la description de l'évolution de phénomènes continus.
- Emploi de fonctions pour l'étude de problèmes numériques (majorations d'expressions, problèmes d'optimisation, solutions d'équations numériques, d'équations différentielles, mesures de grandeurs géométriques et physiques¼).
En ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) d'une fonction, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, existence de zéros, existence d'extremums, existence de limites, continuité, dérivabilité¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, comparaison aux fonctions de référence au voisinage d'un point¼).
Il convient de mettre en valeur, tant au niveau du cours que des problèmes, le fait que pour établir qu'un nombre b est limite d'une fonction f, il est utile de se ramener au cas b=0.
Dans tout ce chapitre, on considère des fonctions définies sur un intervalle I de R contenant au moins deux points et à valeurs réelles.
Pour la notion de limite d'une fonction f en un point a (appartenant à I ou extrémité de I), on adopte les définitions suivantes:
- Étant donnés des nombres réels a et b, on dit que f admet b pour limite au point a si, pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément x de I, la relation |x-a| £ d implique la relation |f(x)-b| £ e; le nombre b est alors unique, et on le note limaf. Lorsqu'un tel nombre b existe, on dit que f admet une limite finie au point a.
- On définit de manière analogue la notion de limite lorsque a=+¥ ou a=-¥, ou lorsque b=+¥ ou b=-¥.
Dans un souci d'unification, on dit qu'une propriété portant sur une fonction définie sur I est vraie au voisinage de a si elle est vraie sur l'intersection de I avec un intervalle ouvert de centre a lorsque a Î R, avec un intervalle ]c,+¥[ lorsque a=+¥ et avec un intervalle ]-¥,c [ lorsque a=-¥.
Tout autre vocabulaire topologique est hors programme.
a) Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles
Fonctions à valeurs réelles, opérations, relation d'ordre.
Fonctions majorées, minorées; fonctions bornées.
Définition de |f|, f+ et f-.
Relations f=f+-f- et |f|=f++f-.
Définition d'un extremum, d'un extremum local.
Notations maxx Î If(x) et maxIf.
Définition de la borne supérieure (inférieure) d'une fonction.
Notations supx Î If(x) et supIf.
Fonctions monotones, strictement monotones; composition.
Fonctions paires, impaires.
Fonctions T-périodiques.
Définition des fonctions lipschitziennes.
b) Étude locale d'une fonction
Limite d'une fonction f en un point a, continuité en un point.
Lorsque b Î R, la relation f(x)® b équivaut à la relation f(x)-b®0.
Lorsque a Î R, la relation f(x)® b lorsque x® a équivaut à la relation f(a+h)® b lorsque h®0.
Lorsque a Î I, dire que f a une limite finie en a équivaut à la continuité de f en ce point. Lorsque a Ï I, f a une limite finie en a si et seulement si f se prolonge par continuité en ce point.
Limite à gauche, limite à droite.
Continuité à gauche, continuité à droite.
Les limites à gauche (ou à droite) en a sont définies par restriction de f à I Ç ]-¥,a [ (à I Ç ]a,+¥[).
Toute fonction admettant une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point.
Toute fonction admettant une limite strictement positive en un point est minorée, au voisinage de ce point, par un nombre réel strictement positif.
Somme de deux fonctions tendant vers 0 en un point a; produit d'une fonction d'une fonction bornée au voisinage de a par une fonction tendant vers 0 en a.
Opérations algébriques sur les limites; compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre.
Si |f(x)| £ g(x) et g(x)®0, alors f(x)®0.
Si g(x) £ f(x) £ h(x), et si g(x)®b et h(x)®b, alors f(x)®b.
Limite d'une fonction composée. Image d'une suite convergente.
Existence d'une limite d'une fonction monotone.
Comparaison des bornes (supérieure ou inférieure) et des limites (à gauche ou à droite).
c) Relations de comparaison
Étant donnés un point a (appartenant à I ou extrémité de I) et une fonction j à valeurs réelles et ne s'annulant pas sur I privé de a, définition d'une fonction f à valeurs réelles négligeable devant j au voisinage de a.
La notation de Landau f=o(j) n'est pas exigible des étudiants; son utilisation doit être très progressive.
Caractérisation à l'aide du quotient [f/(j)].
Définition de l'équivalence au voisinage de a de deux fonctions f et g à valeurs réelles ne s'annulant pas sur I privé de a. Équivalent d'un produit, d'un quotient.
Si f=j+h, où h est négligeable devant j, alors f ~ j.
Notation f ~ g.
Caractérisation à l'aide du quotient f/g.
Si f ~ g alors, au voisinage de a, le signe de f(x) est égal à celui de g(x).
Comparaison, lorsque x®+¥, des fonctions
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Développement limité à l'ordre n d'une fonction au voisinage d'un point; opérations algébriques sur les développements limités: somme, produit; développement limité de u®[1/(1-u)], application au quotient.
Les étudiants doivent savoir déterminer sur des exemples simples le développement limité d'une fonction composée. Aucun résultat général sur ce point n'est exigible.
Les développements asymptotiques sont à étudier sur quelques exemples simples. Toute étude systématique est exclue; en particulier la notion générale d'échelle de comparaison est hors programme.
d) Fonctions continues sur un intervalle
Espace vectoriel C(I) des fonctions continues sur I et à valeurs réelles. Produit et quotient de fonctions continues.
Composée de deux fonctions continues.
Si f est continue, |f|, f+, et f- le sont.
Restriction d'une fonction continue à un intervalle J contenu dans I.
Prolongement par continuité en une extrémité de I.
Si f est continue sur [a,b] et sur [b,c], alors f l'est aussi sur [a,c].
Image d'un intervalle par une fonction continue. Image d'un segment par une fonction continue.
La notion de continuité uniforme est hors programme.
Continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone.
Comparaison des représentations graphiques d'une bijection et de la bijection réciproque.
| 4- Nombres complexes |
L'objectif est de consolider et d'approfondir les notions sur les
nombres complexes déjà abordées en classe de Terminale. Le programme
combine l'étude du corps des nombres complexes et de l'exponentielle
complexe avec les applications des nombres complexes aux équations
algébriques et à la trigonométrie.
En ce qui concerne les suites et fonctions à valeurs complexes, l'objectif est d'effectuer une brève extension des principales propriétés des suites et fonctions définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles.
Il est souvent commode d'identifier C à l'espace euclidien R2, ce qui permet d'exploiter le langage de la géométrie pour l'étude des nombres complexes.
a) Corps C des nombres complexes
Corps C des nombres complexes, structure de R-algèbre, parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe, conjugaison dans C.
La construction du corps C est hors programme.
Notations Re z, Im z, [`z].
Isomorphisme canonique de l'espace R2 sur le R-espace vectoriel C. Affixe d'un point, d'un vecteur; image d'un nombre complexe.
Interprétation géométrique des transformations z®[`z], z®z+b.
Module d'un nombre complexe, module d'un produit, d'un quotient. Inégalité triangulaire. Interprétation en termes de distances.
Définition du groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1.
Notation |z|; relation |z|2=z[`z].
Interprétation géométrique de |z|, de |z-a|; disque ouvert (fermé) de centre a.
Si |u| £ k < 1, alors
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b) Suites et fonctions à valeurs complexes
Brève extension des notions et propriétés suivantes:
- convergence et divergence d'une suite; opérations sur les suites convergentes;
Par identification canonique de C à R2, les notions de ce paragraphe s'appliquent aux suites et aux fonctions d'une variable réelle à valeurs dans R2.
- limite d'une fonction en un point; continuité sur un intervalle.
Notations Re f, Im f, [`f], |f|.
c) Groupe U des nombres complexes de module 1
Définition de eiq, relation ei(q+q¢)=eiq eiq¢; formule de Moivre. Relations d'Euler.
L'application q®eiq est une application surjective de R sur U. En outre, la relation eiq=1 équivaut à la relation q Î 2pZ.
Par définition, eiq=cosq+i sinq où q Î R. La continuité, la dérivabilité et les variations des fonctions cosinus, sinus et tangente sont supposées connues, ainsi que leurs formules d'addition. Les étudiants doivent savoir exprimer sinq, cosq, tanq et eiq à l'aide de tan[(q)/2] et relier ces formules à la représentation paramétrique rationnelle du cercle trigonométrique privé de -1.
Arguments d'un nombre complexe. Écriture d'un nombre complexe z ¹ 0 sous la forme r eiq où r > 0 et q Î R (forme trigonométrique).
Interprétation géométrique des transformations z® az.
Arguments d'un produit, d'un quotient.
Racines n-ièmes de l'unité. Résolution de l'équation zn=a.
d) Exponentielle complexe
Définition de l'exponentielle d'un nombre complexe:
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L'application z® ez (également notée z®expz) est une application surjective de C sur C*. En outre, la relation ez=1 équivaut à la relation z Î 2ipZ.
Relation ez+z¢=ez ez¢.
Module et arguments de ez; résolution de l'équation ez=a.
La notion de logarithme complexe est hors programme.
| Travaux pratiques |
§ Exemples d'étude du comportement global et asymptotique de suites de nombres réels, de nombres complexes.
Il convient d'entraîner les étudiants à exploiter la comparaison aux suites de référence et à classer des ordres de grandeur, notamment pour évaluer le poids respectif des termes d'une somme.
§ Exemples d'étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1=f(un) et d'emploi d'une telle suite pour l'approximation d'un point fixe a de f.
Il convient de mettre en valeur le rôle des variations de f et les interprétations graphiques. L'étude est à mener sur des exemples; aucun énoncé général n'est exigible des étudiants.
Pour étudier la vitesse de convergence de un vers a, les étudiants doivent savoir exploiter le comportement local de f au voisinage de a et, notamment, une inégalité du type lipschitzien |f(x)-f(a)| £ k|x-a| où 0 £ k < 1, ou du type |f(x)-f(a)| £ l|x-a|2.
Exemples d'étude du comportement local et asymptotique de fonctions d'une variable réelle et d'emploi de développements limités.
L'étude de singularités et la recherche de développements limités ne sont pas des objectifs en soi, et tout excès de technicité sur ces points est à éviter.
Exemples d'étude du comportement global de fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles: étude des variations, des zéros et du signe.
§ Exemples d'emploi des nombres complexes en algèbre (polynômes, équations algébriques¼).
§ Exemples d'emploi des nombres complexes en trigonométrie.
Les étudiants doivent savoir linéariser un polynôme trigonométrique, exprimer une somme de deux cosinus ou de deux sinus sous forme de produit, connaître les expressions de sinq, cosq, 1+cosq et 1-cosq à l'aide de q/2, ainsi que la relation 1+eiq=2cos[(q)/2] eiq/2 et son interprétation géométrique.