Le programme est organisé autour de trois axes:
- Dérivation en un point et sur un intervalle.
- Intégration sur un segment des fonctions continues par morceaux.
- Théorème fondamental reliant l'intégration et la dérivation; exploitation de ce théorème pour le calcul différentiel et intégral, et notamment pour les formules de Taylor.
Aussi bien pour l'étude locale que pour l'étude globale des fonctions, le programme combine de manière indissociable les outils du calcul différentiel et du calcul intégral.
L'étude générale de la dérivation et de l'intégration doit être illustrée par de nombreux exemples portant sur les fonctions usuelles (qui, par commodité de rédaction, ne figurent qu'au chapitre 6) et celles qui s'en déduisent.
Les fonctions considérées dans cette partie sont définies sur un intervalle I de R contenant au moins deux points et, dans les trois premiers chapitres, sont à valeurs réelles.
| 1- Dérivation des fonctions à valeurs réelles |
a) Dérivée en un point, fonction dérivée
Dérivabilité en un point: dérivée, dérivée à gauche, à droite.
Extremums locaux des fonctions dérivables.
Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter l'interprétation graphique et l'interprétation cinématique de la notion de dérivée en un point.
Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée. Opérations sur les dérivées: linéarité, produit, quotient, fonctions composées, fonctions réciproques.
Notations f¢, Df, [df/dx].
Espace vectoriel Ck(I) des fonctions de classe Ck, où 0 £ k £ +¥. Dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz).
Notations f(k), D kf, [(dkf)/(dxk)].
b) Étude globale des fonctions dérivables
Théorème de Rolle, égalité des accroissements finis.
Inégalité des accroissements finis:
- si m £ f¢ £ M, alors m(b-a) £ f(b)-f(a) £ M(b-a);
- si |f¢| £ k, alors f est k-lipschitzienne.
Caractérisation des fonctions constantes, monotones et strictement monotones parmi les fonctions dérivables.
Pour le théorème de Rolle, l'égalité et l'inégalité des accroissements finis, ainsi que pour la caractérisation des fonctions monotones, on suppose f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Les étudiants doivent connaître l'interprétation graphique et cinématique de ces résultats.
Si f est continue sur [a,b], de classe C1 sur ]a,b] et si f¢ a une limite finie en a, alors f est de classe C1 sur [a,b].
Brève extension au cas d'une limite infinie.
| 2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles |
Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par
morceaux sur un segment.
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de définir la convergence absolue de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle quelconque, mais, en mathématiques, aucune connaissance spécifique sur ce point n'est exigible des étudiants.
a) Fonctions continues par morceaux
Définition d'une fonction j en escalier sur [a,b].
Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur un segment. Produit de fonctions continues par morceaux.
b) Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Notations òIf, ò[a,b]f. Linéarité.
Croissance; inégalité |òIf| £ òI|f|.
Additivité par rapport à l'intervalle d'intégration.
Invariance de l'intégrale par translation.
Pour introduire la notion d'intégrale d'une fonction à valeurs positives, il convient de s'appuyer sur la notion d'aire. Aucune difficulté théorique ne doit être soulevée sur la notion d'aire. Les propriétés de l'intégrale sont admises.
Valeur moyenne d'une fonction.
Inégalité de la moyenne
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Une fonction f continue et à valeurs positives sur un segment est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.
Approximation de l'intégrale d'une fonction f continue sur [a,b] par les sommes de Riemann
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Définition de òabf(t) dt, où a et b appartiennent à I. Linéarité. Inégalité de la moyenne. Relation de Chasles.
| 3- Intégration et dérivation |
a) Primitives et intégrales d'une fonction continue
Définition d'une primitive d'une fonction continue.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Théorème fondamental:
- étant donnés une fonction f continue sur un intervalle I et un point a Î I, la fonction x®òax f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a;
- pour toute primitive h de f sur I,
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Pour toute fonction f de classe C1 sur I,
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Intégration par parties pour des fonctions de classe C1.
Changement de variable: étant données une fonction f continue sur I et une fonction j à valeurs dans I et de classe C1 sur [a,b],
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Il convient de mettre en valeur l'intérêt de changements de variable affines, notamment pour exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener, par paramétrage du segment [a,b], au cas où l'intervalle d'intégration est [0,1] ou [-1,1].
b) Formules de Taylor
Pour une fonction de classe Cp+1 sur I, formule de Taylor à l'ordre p en un point a de I.
Expression intégrale du reste.
Majoration du reste: inégalité de Taylor-Lagrange.
Relation f(x)=Tp(x)+Rp(x), où
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Existence d'un développement limité à l'ordre p pour une fonction de classe Cp: formule de Taylor-Young.
c) Approximation d'une intégrale par la méthode des trapèzes
Étant donnée une fonction f de classe C2 sur [a,b] et une subdivision S=(a0,¼,an) de [a,b] à pas constant, approximation de òabf(t) dt par
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Cette méthode consiste à approcher f, sur chaque intervalle [a,b] de la subdivision S, par la fonction affine j telle que j(a)=f(a) et j(b)=f(b), et à exploiter la majoration suivante, valable pour tout élément t de [a,b],
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Algorithme d'approximation d'une intégrale par la méthode des trapèzes.
Il convient de souligner l'intérêt des subdivisions dichotomiques.
| 4- Dérivation et intégration des fonctions à valeurs complexes |
L'objectif est d'effectuer une brève extension des notions et
propriétés suivantes, vues pour les fonctions à valeurs réelles, aux
fonctions définies sur un intervalle I et à valeurs complexes.
Par identification de C à R2, les notions de ce chapitre s'appliquent aux fonctions d'une variable réelle et à valeurs dans R2.
Brève extension des notions et propriétés suivantes:
- dérivabilité en un point, sur un intervalle; opérations sur les dérivées;
- intégrale d'une fonction continue par morceaux;
- extension du théorème fondamental reliant l'intégrale et les primitives;
- intégration par parties, changement de variable.
| 5- Courbes planes paramétrées |
Dans ce chapitre, on considère des fonctions d'une variable réelle
à valeurs dans R2, de classe Ck, où, 1 £ k £ +¥.
L'objectif est d'exploiter, par identification de C au plan euclidien R2, les résultats obtenus sur les fonctions à valeurs complexes pour l'étude cinématique et géométrique des courbes planes.
Le programme se place dans le cadre des courbes paramétrées (point de vue cinématique).
L'étude des courbes paramétrées fait l'objet d'un approfondissement au chapitre IV.1.
a) Courbes paramétrées
Courbes paramétrées (ou arcs paramétrés) de classe Ck; interprétation cinématique: mouvement, vitesse, accélération.
Étant données deux fonctions f et g de classe C1 à valeurs dans R2, dérivation de (f|g), de ||f|| et de det(f,g).
En vue de l'enseignement de la mécanique, il convient de donner la caractérisation d'un mouvement uniforme, d'un mouvement rectiligne, d'un mouvement à accélération centrale. En mathématiques, aucune connaissance spécifique sur ces points n'est exigible des étudiants.
Trajectoire d'un mouvement, orientation; point régulier, birégulier.
b) Étude locale d'une courbe paramétrée
Définition de la tangente en un point régulier; vecteur unitaire T® de la tangente à un arc orienté.
L'étude de points non biréguliers (rebroussements, inflexions) porte seulement sur des exemples; aucun énoncé général n'est exigible des étudiants.
Position locale de la courbe par rapport à l'une de ses tangentes en un point birégulier (concavité).
| 6- Fonctions usuelles |
a) Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
Fonctions exponentielles réelles, fonctions logarithmes. Fonctions puissances.
Fonctions hyperboliques ch, sh et th.
Les étudiants doivent connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques de ces fonctions.
En ce qui concerne la trigonométrie hyperbolique, la seule connaissance exigible des étudiants est la relation ch2t-sh2t=1 et son interprétation géométrique. Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme.
b) Fonctions circulaires
Fonctions circulaires cos, sin et tan.
Définition et dérivation des fonctions circulaires réciproques Arccos, Arcsin et Arctan.
Les étudiants doivent connaître les dérivées, les variations et les représentations graphiques des fonctions circulaires et des fonctions circulaires réciproques. Aucune autre connaissance spécifique sur les fonctions circulaires réciproques n'est exigible des étudiants.
c) Fonction exponentielle complexe
Dérivation de t® eat où a Î C; dérivation de t® ej(t), où j est à valeurs complexes.
d) Primitives des fonctions usuelles
Primitives de t® (t-a)n, a Î C, n Î Z.
Lorsque n=-1 on se ramène à l'intégration de la partie réelle et de la partie imaginaire; la notion de fonction logarithme complexe est hors programme.
Primitives de t®eatP(t) où a Î C et P Î C[X].
Tableau des primitives des fonctions usuelles.
e) Développements limités des fonctions usuelles
Développement limité à l'origine des fonctions t®eat, a Î C, t® (1+t)a, a Î R.
Les étudiants doivent savoir en déduire les autres développements limités usuels.
f) Équations différentielles à coefficients constants
Caractérisation de la fonction t® eat (a Î C) par l'équation différentielle y¢=a y et la condition initiale y(0)=1.
Équations ay¢+by=f(x) et ay¢¢+by¢+cy=f(x), où a, b, c sont des nombres complexes, a non nul, et f une somme de fonctions du type x®eaxP(x), où a Î C et P Î C[X].
Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée. Structure de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre associée.
| 7- Notions sur les fonctions de deux variables réelles |
Cette partie constitue une première prise de contact avec les
fonctions de deux variables réelles. Les notions sont données en vue de
l'enseignement des autres disciplines scientifiques:
- Dérivées partielles, dérivée d'une fonction composée; recherche d'extremums. Coordonnées polaires.
- Intégrales doubles; exemples d'applications aux calculs d'aires planes et de masses.
- Champs de vecteurs; gradient, divergence, rotationnel; circulation d'un champ de vecteurs, intégrale curviligne, potentiel scalaire.
En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples d'emploi du calcul différentiel et intégral pour l'étude globale des fonctions: variations, recherche des zéros et du signe d'une fonction, obtention de majorations et minorations de suites et de fonctions, recherche d'extremums.
§ Exemples d'algorithmes d'approximation d'une solution d'une équation numérique et de comparaison de leurs performances.
Les étudiants doivent connaître les méthodes de dichotomie, d'itération et de Newton et savoir comparer leurs performances sur les exemples étudiés.
§ Exemples de calcul de primitives et d'intégrales.
Les étudiants doivent savoir calculer une primitive d'une fonction rationnelle n'ayant que des pôles simples. En dehors de ce cas, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies.
§ Exemples d'algorithmes de calcul approché d'intégrales et de comparaison de leurs performances.
La démarche consiste à subdiviser l'intervalle d'intégration et à approcher, sur chaque sous-intervalle, la fonction à intégrer par une fonction polynomiale.
§ Exemples d'étude et de construction de courbes paramétrées
Toute étude de point singulier ou de branche infinie doit comporter des indications sur la méthode à suive. Aucune connaissance spécifique sur ces points n'est exigible des étudiants.
Exemples d'étude d'équations différentielles à coefficients constants.
Il convient d'exploiter notamment des problèmes issus des autres disciplines scientifiques.