Cette partie est organisée autour de quatre objectifs:
- Étudier les propriétés fondamentales de l'espace vectoriel normé Kn en vue de fournir un cadre cohérent pour l'étude des suites et des fonctions.
- Étudier le comportement global et asymptotique d'une suite ou d'une fonction.
- Décrire et mettre en oeuvre des algorithmes d'approximation d'un nombre à l'aide de suites ou de séries et comparer leurs performances. Cette étude est menée en relation avec celle des fonctions et de l'algèbre linéaire.
- Exploiter les résultats de la théorie des fonctions pour l'étude de problèmes numériques (majorations d'expressions, problèmes d'optimisation, solutions d'équations numériques,¼).
| 1- Suites convergentes, fonctions continues |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Consolider les acquis de première année sur les suites de nombres réels ou complexes et sur le comportement local et asymptotique d'une fonction à valeurs réelles ou complexes, grâce aux concepts de limite et de continuité.
- Étudier la continuité des applications de Kp dans Kn.
L'équivalence des normes sur Kn montre que de nombreux concepts importants sont indépendants du choix d'une norme: parties bornées, parties ouvertes, parties fermées, continuité d'une application, suites convergentes. Par conséquent, pour toutes ces notions, il est légitime de se placer dans le cadre de l'espace vectoriel Kn (sans préciser une norme particulière).
En ce qui concerne le comportement global et asymptotique d'une suite, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, convergence, divergence¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, vitesse de convergence ou de divergence par comparaison aux suites de référence usuelles¼).
De même, en ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) d'une fonction, il convient de combiner l'étude de problèmes qualitatifs (monotonie, existence de zéros, existence d'extrémums, existence de limites, continuité, dérivabilité¼) avec celle de problèmes quantitatifs (majorations, encadrements, comparaison aux fonctions de référence au voisinage d'un point¼).
Les applications étudiées dans ce chapitre sont définies sur une partie A de Kp et à valeurs dans Kn.
a) Normes et distances
Tout développement sur les espaces vectoriels normés est hors programme.
Définition d'une norme, notée x®||x|| ou x® N(x), sur un espace vectoriel E réel ou complexe; distance associée, notée (x,y)® d (x,y). Boules.
Norme x®||x||=(x|x)1/2 associée à un produit scalaire (x,y)®(x|y) sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples issus de l'espace Kn et des espaces de fonctions. Les étudiants doivent connaître notamment les normes N1, N2 et N¥ sur Kn et sur l'espace vectoriel C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles ou complexes.
b) Suites d'éléments de Kp
Sur l'espace vectoriel Kp, toutes les normes sont équivalentes.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
Définition des suites convergentes, des suites divergentes.
Pour qu'une suite (un) d'éléments de Kp soit convergente, il faut et il suffit que ses coordonnées soient convergentes.
Opérations algébriques sur les suites convergentes.
Les coordonnées de la limite sont alors les limites des coordonnées.
c) Continuité d'une application
Définition des parties bornées, des applications bornées. Définition des parties ouvertes, des parties fermées. Réunion et intersection finie de parties ouvertes, de parties fermées.
Les notions de voisinage d'un point, de point adhérent et de point intérieur à une partie, d'ouverts et de fermés relatifs à une partie sont hors programme.
Continuité d'une application en un point: soit f une application d'une partie A de Kp à valeurs dans Kn et a un point de A. On dit que f est continue au point a si, pour tout nombre réel e > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tout élément x de A, la relation ||x-a|| £ d implique la relation ||f(x)-f(a)|| £ e.
Limite de l'image d'une suite (un) admettant une limite a par une application f continue au point a.
Définition des applications continues. Continuité de la composée de deux applications continues, de la restriction d'une application continue; opérations algébriques sur les applications continues. Caractérisation de la continuité d'une application à valeurs dans Kn par la continuité de ses coordonnées.
Algèbre C(A) des fonctions à valeurs réelles ou complexes continues sur A.
Si f est à valeurs réelles, alors pour tout nombre réel a, l'ensemble des points x tels que f(x) ³ a, ou tels que f(x)=a, est une partie fermée de Kp; l'ensemble des points x tels que f(x) > a est une partie ouverte de Kp.
Il convient de souligner l'intérêt de ces résultats pour démontrer qu'une partie est ouverte (ou fermée).
Étant donnée une fonction f continue sur A à valeurs réelles, l'image par f d'une partie fermée bornée de Kp incluse dans A est une partie fermée bornée de R; existence d'extrémums.
La démonstration de ce théorème est hors programme.
Toute application linéaire u de Kp dans Kn est continue.
Continuité de l'application (l,x)®lx de K×Kp dans Kp.
Il existe un nombre réel k > 0 tel que, pour tout x, N¢(u(x)) £ k N(x).
| 2- Séries de nombres réels ou complexes |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Étudier la convergence des séries de nombres réels positifs.
- Étudier les séries absolument convergentes de nombres réels ou complexes, à partir des résultats obtenus pour les séries de nombres réels positifs.
a) Suites et séries
Série åun associée à une suite (un) de nombres réels ou complexes, suite (sp) des sommes partielles de cette série.
Il convient de mettre en valeur et d'exploiter la correspondance bijective entre suites et séries.
Définition d'une série convergente et de sa somme, notée ån=0+¥un. Espace vectoriel des séries convergentes.
Caractérisation de la convergence d'une série de nombres complexes à l'aide des parties réelle et imaginaire.
Si la série åun converge, un tend vers 0; la réciproque est fausse.
Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers zéro; majoration du reste.
Aucune autre connaissance spécifique sur les séries semi-convergentes n'est exigible des étudiants.
b) Séries de nombres réels positifs
Pour qu'une série åun de nombres positifs converge, il faut et il suffit que la suite (sp) des sommes partielles soit majorée.
Convergence des séries géométriques de nombres réels positifs, convergence des séries de Riemann.
Théorème de comparaison des séries de nombres réels positifs: soient (un) et (an) des suites de nombres réels positifs telles que un=O (an); alors la convergence de åan implique la convergence de åun.
Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une série géométrique, à une série de Riemann. Règle de d'Alembert.
Développement décimal d'un nombre réel positif.
c) Séries de nombres réels ou complexes
Séries absolument convergentes (c'est-à-dire telles que å|un| < +¥). Toute série absolument convergente est convergente.
En outre, |ån=0+¥un| £ ån=0+¥|un|.
Série géométrique: la série åzn, où z appartient à C, est absolument convergente si et seulement si |z| < 1; sa somme est alors égale à [1/(1-z)].
En outre, si |z| ³ 1, cette série diverge.
Série exponentielle: pour tout nombre complexe z, la série å[(zn)/n!] est absolument convergente.
Par définition, expz=ån=0+¥[(zn)/n!].
d) Suites et séries de fonctions
Dans ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles ou complexes.
Étant donnée une suite (fn) de fonctions définies sur I, définition de la convergence simple sur I; définition de la convergence simple pour une série de fonctions.
La convergence uniforme des suites et des séries de fonctions est hors programme.
Une série åfn de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur I est dite normalement convergente sur I si la série numérique å||fn||¥ est convergente. Convergence normale sur tout segment.
Pour établir la convergence normale de åfn, il convient d'utiliser une série numérique convergente åan majorante, c'est-à-dire telle que, pour tout n, ||fn||¥ £ an.
Si la série åfn converge normalement sur tout segment de I et si, pour tout n, fn est continue sur I, alors la somme de cette série est continue sur I.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
| Travaux pratiques |
Exemples d'obtention de majorations et de minorations d'expressions réelles ou du module d'expressions complexes; exemples d'emploi pour l'étude de suites et de fonctions.
§ Exemples d'étude du comportement global et asymptotique de suites de nombres réels, de nombres complexes.
Il convient d'entraîner les étudiants à exploiter la comparaison aux suites de référence et à classer des ordres de grandeur.
§ Exemples d'étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence un+1=f(un) et d'emploi d'une telle suite pour l'approximation d'un point fixe a de f.
Pour étudier la vitesse de convergence de un vers a, les étudiants doivent savoir exploiter le comportement local de f au voisinage de a et, notamment, une inégalité du type lipschitzien |f(x)-f(a)| £ k |x-a| où 0 £ k < 1, ou du type |f(x)-f(a)| £ l |x-a|2.
§ Exemples d'étude de séries de nombres réels ou complexes.