Le programme est organisé autour de quatre objectifs:

- Consolider les acquis de première année concernant la dérivation et l'intégration des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes.

- Étendre ces résultats au cas des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles.

- Étudier l'intégration et la dérivation des suites et séries de fonctions à valeurs réelles ou complexes.

- Effectuer une étude élémentaire des fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.

Aussi bien pour l'étude locale que pour l'étude globale des fonctions, le programme combine de manière indissociable les outils du calcul différentiel et du calcul intégral.

1. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
2. Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles ou complexes
3. Dérivation et intégration
4. Intégration sur un intervalle quelconque
5. Courbes du plan et de l'espace
6. Travaux pratiques

1- Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles

L'objectif de ce chapitre est double:

- Consolider les acquis de première année concernant la dérivation des fonctions à valeurs réelles ou complexes: dérivation en un point, propriétés globales des fonctions de classe C^k.

- Étudier la dérivation des fonctions à valeurs vectorielles.

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs dans Kⁿ.

a) Dérivée en un point, fonctions de classe C¹

Définition de la dérivabilité d'une fonction f définie sur un intervalle I en un point a de I: dérivée, dérivée à gauche, à droite.

Les étudiants doivent connaître et savoir exploiter l'interprétation cinématique et graphique de la notion de dérivée en un point.

Définition de la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I, application dérivée; application de classe C¹ sur un intervalle I.

Notations f¢, Df, [df/dx].

Espace vectoriel C¹(I,Kⁿ) des applications de classe C¹ sur I, linéarité de la dérivation, dérivée d'une application de la forme u(f) où u est une application linéaire.

Caractérisation de la dérivabilité d'une fonction f à valeurs dans Kⁿ à l'aide de ses coordonnées. Les coordonnées de Df sont les dérivées des coordonnées de f.

Dérivation du produit scalaire (f|g), du carré de la norme ||f||₂; lorsque e est un vecteur unitaire, orthogonalité de e et de De.

Cas d'une fonction f à valeurs complexes: pour que f soit de classe C¹, il faut et il suffit que [`f] le soit, ou encore que Re f et Im f le soient.

Dans ces conditions,

D( _ f   )= Df   ,   Df=D(Re f)+i D(Im f).

Caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions continues sur I et dérivables sur l'intérieur de I.

b) Fonctions de classe C^k

Définition des applications de classe C^k sur un intervalle I (k entier naturel ou k=+¥).

Notations f^(k), D ^kf, [(d^kf)/(dx^k)].

Espace vectoriel C^k(I,Kⁿ) des applications de classe C^k sur I à valeurs dans Kⁿ, où 0 £ k £ +¥. Algèbre C^k(I) des fonctions de classe C^k sur I à valeurs réelles ou complexes.

Dérivée k-ième du produit de deux fonctions (formule de Leibniz).

La composée f°j d'une application f de classe C^k sur I et d'une fonction j de classe C^k sur un intervalle J à valeurs dans I est de classe C^k sur J.

Définition d'un C^k-difféomorphisme de J sur I (k ³ 1).

Une fonction j de classe C^k sur un intervalle J (k ³ 1) est un C^k-difféomorphisme de J sur I=j(J) si et seulement si, pour tout élément t de J, j¢(t) ¹ 0.

Une application f à valeurs dans Kⁿ est dite de classe C^k par morceaux sur un segment [a,b], où 1 £ k £ +¥, s'il existe une subdivision (a₀,a₁,¼,a_n) de [a,b] telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]a_i,a_i+1[ soit prolongeable en une fonction de classe C^k sur [a_i,a_i+1]. Lorsque k=0, f est dite continue par morceaux sur [a,b].

Une fonction f est dite de classe C^k par morceaux sur un intervalle I quelconque si sa restriction à tout segment est de classe C^k par morceaux.

2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles ou complexes

L'objectif de ce chapitre est double:

- Consolider les acquis de première année sur l'intégrale des fonctions à valeurs réelles ou complexes continues par morceaux sur un segment.

- Effectuer une étude élémentaire de l'intégration sur un segment des séries de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes.

Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment J=[a,b] à valeurs réelles ou complexes. En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur l'intégration des fonctions à valeurs dans Rⁿ, par emploi des coordonnées, mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.

a) Intégrale d'une fonction continue par morceaux

Définition de l'intégrale d'une fonction j en escalier sur J à valeurs réelles ou complexes. Notations ò_Jj, ò_[a,b]j. Linéarité de l'intégrale.

Inégalité    |ò_Jj| £ ò_J|j|.

Définition de l'intégrale d'une fonction f continue par morceaux sur un segment J à valeurs réelles ou complexes. Notations ò_Jf, ò_[a,b]f. Linéarité de l'intégrale.

Inégalité    |ò_Jf| £ ò_J|f|.

Pour les fonctions à valeurs réelles, positivité et croissance de l'intégrale.

Pour une fonction f à valeurs complexes, intégrale de [`f], de Re f, de Im f.

Une fonction f continue et à valeurs positives sur un segment [a,b] est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

Additivité de l'intégrale par rapport à l'intervalle d'intégration.

Valeur moyenne d'une fonction. Inégalité de la moyenne

ê ê ó õ [a,b]  f ê ê £ ó õ [a,b]  |f| £ (b-a)  sup [a,b]  |f|.

Toute formule ou égalité dite de la moyenne est hors programme.

Étant donnée une fonction f continue par morceaux sur un intervalle I de R, définition de ò_a^bf(t) dt, où a et b appartiennent à I.

Linéarité. Inégalité de la moyenne. Relation de Chasles.

b) Intégration sur un segment des séries de fonctions

Si une série åf_n de fonctions continues sur [a,b] converge normalement sur [a,b], alors la série des intégrales est convergente et

ó õ [a,b]  +¥ å n=0  fn = +¥ å n=0  ó õ [a,b]  fn.

Produit scalaire (f,g)®ò_[a,b][`f] g sur l'espace vectoriel C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs complexes; inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme de la convergence en moyenne quadratique f®N₂(f)=(ò_[a,b]|f|²)^1/2.

Inégalité

N2(f) £   ___ Öb-a    N¥(f).

3- Dérivation et intégration

L'objectif de ce chapitre est triple:

- Consolider les acquis de première année sur le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, et exploiter ce théorème pour l'étude globale des fonctions de classe C^k.

- Étudier la primitivation des séries de fonctions à valeurs réelles ou complexes et appliquer les résultats obtenus à leur dérivation.

- Effectuer une étude élémentaire des fonctions définies par des intégrales dépendant d'un paramètre.

Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles ou complexes.

a) Primitives et intégrale d'une fonction continue

Définition d'une primitive g d'une fonction f continue sur un intervalle I.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient d'étendre cette définition au cas d'une fonction continue par morceaux sur I mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point n'est exigible des étudiants.

Théorème fondamental: étant donnés une fonction f continue sur un intervalle I et un point a de I,

- La fonction x®ò_a^x f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a; pour toute primitive h de f sur I,

ó õ x a  f(t) dt=h(x)-h(a).

- Pour toute fonction f de classe C¹ sur I,

f(x)-f(a)= ó õ x a  f¢(t) dt.

Formule d'intégration par parties pour des fonctions de classe C¹ sur I.

Changement de variable: étant données une fonction f continue sur I et une fonction j à valeurs dans I de classe C¹ sur [a,b],

ó õ j(b) j(a)  f(t) dt = ó õ b a  f æ è j(u) ö ø  j¢(u) du.

Il convient de mettre en valeur l'intérêt de changements de variable affines, notamment pour exploiter la périodicité et les symétries, ou pour se ramener, par paramétrage du segment [a,b], au cas où l'intervalle d'intégration est [0,1] ou [-1,1].

b) Étude globale des fonctions de classe C¹

Inégalité des accroissements finis: soit f une fonction continue sur [a,b] et de classe C¹ sur ]a,b[. Si, pour tout élément t de ]a,b[, |f¢(t)| £ l, alors

|f(b)-f(a)| £ l (b-a).

Les étudiants doivent connaître l'interprétation cinématique de ce résultat.

Si f est continue sur [a,b], de classe C¹ sur ]a,b] et si f¢ a une limite finie en a, alors f est de classe C¹ sur [a,b].

Extension aux applications de classe C^k: si f est continue sur [a,b], de classe C^k sur ]a,b] et si, pour tout r Î [1,k], D ^rf admet une limite finie en a, alors f est de classe C^k sur [a,b].

c) Formules de Taylor

Pour une fonction de classe C^k+1 sur I, formule de Taylor à l'ordre k en un point a de I: expression intégrale du reste R_k. Majoration du reste R_k (inégalité de Taylor-Lagrange).

Décomposition f(x)=T_k(x)+R_k(x), où

Tk(x)= k å n=0  (x-a)n n! D nf(a).

Développement limité d'une primitive d'une fonction continue; application au développement limité de la dérivée d'une fonction de classe C¹.

Existence d'un développement limité à l'ordre k pour une fonction de classe C^k: formule de Taylor-Young.

d) Séries de fonctions de classe C^k

Dans ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles ou complexes.

Dérivation terme à terme: soit (f_n) une suite de fonctions de classe C¹ sur I à valeurs réelles ou complexes. Si les séries åf_n et åf_n¢ convergent normalement sur tout segment de I, alors la somme de la série åf_n est de classe C¹ sur I et

D  æ ç è +¥ å n=0  fn ö ÷ ø = +¥ å n=0  D fn.

Extension aux fonctions de classe C^k.

L'application e_z: t®exptz, où z est un nombre complexe, est de classe C^¥ sur R et De_z=z e_z.

e) Intégrales dépendant d'un paramètre

Continuité sous le signe ò: soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur A×[a,b], où A est un intervalle de R. Alors la fonction g définie sur A par la relation g(x)=ò_a^bf(x,t) dt est continue sur A.

La démonstration des résultats de ce paragraphe est hors programme.

Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): lorsque f est continue sur A×[a,b] et admet une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] continue sur A×[a,b], alors g est de classe C¹ sur A, et

g¢(x)= ó õ b a  ¶f ¶x  (x,t) dt.

Extension aux fonctions de classe C^k.

4- Intégration sur un intervalle quelconque

L'objectif de ce chapitre est d'étudier l'intégrabilité d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle, d'abord dans le cas des fonctions à valeurs positives, puis dans le cas des fonctions à valeurs réelles ou complexes.

Le programme se limite à l'intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle I de R à valeurs réelles ou complexes.

a) Fonctions intégrables à valeurs positives

Une fonction positive f continue par morceaux sur un intervalle I=[a,b[ est dite intégrable (ou sommable) sur [a,b[ s'il existe un nombre réel positif M tel que, pour tout élément x de [a,b[, ò_a^xf(t) dt £ M.

Cas des fonctions définies sur ]a,b], sur ]a,b[.

On pose alors

ó õ I  f= ó õ b a  f(t) dt= lim x  ó õ x a  f(t) dt.

Intégrabilité de t® t^a sur [a,+¥[, sur ]0,a].

Opérations sur les fonctions continues par morceaux intégrables positives: somme, produit par un scalaire positif. Croissance: si f et g sont continues par morceaux sur [a,b[, si 0 £ f £ g et si g est intégrable, f l'est aussi et ò_a^bf(t) dt £ ò_a^bg(t) dt.

Une fonction f continue, positive et intégrable sur [a,b[ est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

b) Fonctions intégrables à valeurs complexes

Une fonction f à valeurs réelles ou complexes continue par morceaux sur I=[a,b[ est dite intégrable (ou sommable) sur [a,b[ si |f| est intégrable sur I.

Cas des fonctions définies sur ]a,b], sur ]a,b[.

Si f et j sont continues par morceaux, si |f| £ j et si j est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I.

Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux intégrables sur I.

Une fonction f à valeurs réelles continue par morceaux est intégrable sur I si et seulement si f⁺ et f^- le sont.

On pose alors ò_If=ò_If⁺-ò_If^-.

Une fonction f à valeurs complexes continue par morceaux est intégrable sur I si et seulement si Re f et Im f le sont.

On pose alors ò_If=ò_IRe f+iò_IIm f.

Linéarité de l'intégrale. Si f est continue par morceaux intégrable,

ê ê ó õ I  f ê ê £ ó õ I  |f|.

Étant donnée une fonction f continue sur [a,b[, à valeurs réelles ou complexes, il peut arriver que f ne soit pas intégrable sur [a,b[, mais que la fonction x®ò_a^xf(t) dt admette une limite au point b; cette limite est encore notée, de manière impropre, ò_a^bf(t) dt.

Aucune connaissance spécifique sur les intégrales semi-convergentes n'est exigible des étudiants.

5- Courbes du plan et de l'espace

L'objectif de ce chapitre est de consolider l'étude des courbes planes abordée en classe de première année et d'étendre ces notions aux courbes de l'espace.

L'étude des propriétés métriques des courbes du plan et de l'espace est hors programme.

La démarche du programme est de partir du point de vue cinématique (donnée d'un paramétrage) et d'introduire ensuite la notion de propriété géométrique en étudiant l'effet d'un changement de paramétrage.

Dans ce chapitre, on considère des fonctions f à valeurs dans Rⁿ, où n £ 3, de classe C^k sur un intervalle I, où 1 £ k £ +¥.

a) Courbes paramétrées

Courbes paramétrées (ou arcs paramétrés) de classe C^k.

Interprétation cinématique: mouvement, vitesse, accélération.

Effet d'un changement de paramétrage. Trajectoire d'un mouvement, orientation. Point régulier (à l'ordre 1).

Les changements de paramétrage sont supposés de classe C^k ainsi que leurs applications réciproques.

b) Étude locale d'un arc orienté G de classe C^k

Définition des demi-tangentes en un point A de G, de la tangente en un point A. Existence d'une tangente en un point régulier.

Dans le cas d'une courbe plane, cas d'un point A où l'un au moins des vecteurs dérivés successifs est non nul.

L'étude locale en un point où tous les vecteurs dérivés successifs sont nuls est hors programme.

Travaux pratiques

Exemples d'emploi du calcul différentiel et intégral pour l'étude globale des fonctions.

Obtention de majorations et minorations de suites et de fonctions, recherche d'extrémums.

§ Exemples de méthodes de calcul de valeurs approchées d'intégrales et de comparaison de leurs performances.

La démarche consiste à subdiviser l'intervalle d'intégration et à approcher, sur chaque sous-intervalle, la fonction à intégrer par une fonction polynomiale.

Exemples d'étude de l'intégrabilité d'une fonction.

Exemples d'étude d'une fonction définie comme somme d'une série de fonctions (continuité, dérivation, intégration).

Exemples d'étude d'une fonction définie par une intégrale dépendant d'un paramètre.

§ Exemples d'étude de courbes paramétrées du plan ou de l'espace.