L'objectif de cette partie est d'étudier les systèmes différentiels
linéaires à coefficients constants et les équations différentielles
linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2.
Il convient de relier cette étude à l'enseignement des autres disciplines scientifiques (systèmes mécaniques ou électriques gouvernés par une loi d'évolution et une condition initiale, traitement du signal). Il convient d'étudier le comportement du signal de sortie associé à différents types de signaux d'entrée et de dégager la signification de certains paramètres ou comportements: stabilité, régime permanent, oscillation, amortissement, fréquences propres, résonance. On peut être alors amené à étendre la notion de solution (fonction C1 ou C2 par morceaux).
| 1- Équations différentielles linéaires |
L'objectif de ce chapitre est double:
- Étudier les systèmes différentiels linéaires d'ordre 1 à coefficients constants, en relation avec la réduction des matrices.
- Étudier les équations linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2.
a) Systèmes linéaires à coefficients constants
Définition d'une solution sur un intervalle I de l'équation différentielle X¢=A X, où A est une matrices réelle ou complexe. Existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
b) Équations linéaires scalaires d'ordre 1 ou 2
Équation a(t) x¢+b(t) x=c(t) où a, b et c sont continues sur I à valeurs réelles ou complexes.
Structure de l'espace des solutions lorsque a ne s'annule pas sur I.
Équation a(t) x¢¢+b(t) x¢+c(t) x=d(t) où a, b, c et d sont continues sur I à valeurs réelles ou complexes. Lorsque a ne s'annule pas sur I, existence et unicité de la solution sur I du problème de Cauchy.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
Structure de l'espace des solutions de l'équation homogène, systèmes fondamentaux de solutions. Résolution de l'équation par la méthode de variation des constantes.
Expression des solutions dans le cas où l'on connaît une solution de l'équation homogène associée ne s'annulant pas sur I.
| 2- Notions sur les équations différentielles non linéaires |
En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il
convient d'introduire quelques notions sur les équations différentielles
non linéaires mais, en mathématiques, aucune connaissance sur ce point
n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
§ Pratique de la résolution de l'équation X¢=A X, où A est une matrice diagonalisable à éléments réels ou complexes.
Exemples d'étude de solutions d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 ou 2.