L'objectif est d'acquérir le vocabulaire usuel sur les ensembles et
les applications et de mettre en évidence, à partir des exemples figurant
au programme, les structures algébriques suivantes : groupes, anneaux et
corps, espaces vectoriels, algèbres.
Le programme se limite strictement aux notions de base figurant ci-dessous. Ces notions doivent être acquises progressivement par les étudiants au cours de l'année, au fur et à mesure des exemples rencontrés dans les différents chapitres d'algèbre, d'analyse et de géométrie. Elles ne doivent pas faire l'objet d'une étude exhaustive bloquée en début d'année.
À l'issue de la classe TSI de première année, les étudiants devront être en possession du langage élémentaire relatif aux ensembles (parties et opérations sur les parties) et aux applications (composée de deux applications, équations, applications injectives, surjectives, bijectives, applications réciproques).
Aucun développement sur les ensembles finis, et en particulier sur les dénombrements, n'est au programme. La construction de N, Z, Q, R et C est hors programme.
Il convient d'entraîner les étudiants à bâtir et à rédiger des raisonnements par récurrence. Toute considération théorique sur le principe de récurrence est hors programme.
| 1- Nombres et structures algébriques usuelles |
Vu l'importance capitale de l'algèbre linéaire, le programme comporte
l'étude des concepts d'espace vectoriel, d'application linéaire et
d'algèbre. Il convient de s'appuyer sur les points suivants, déjà abordés
dans les classes antérieures:
- calcul vectoriel dans le plan et dans l'espace,
- étude des systèmes linéaires,
- étude des fonctions numériques sur un intervalle.
En revanche, pour les groupes, les anneaux et les corps, le programme se limite à quelques définitions élémentaires et aux exemples usuels.
En algèbre linéaire, le programme se limite au cas où le corps de base est K, où K désigne R ou C.
a) Groupes
Définition d'un groupe, d'un sous-groupe, d'un morphisme de groupes, d'un isomorphisme.
Groupe additif Z des nombres entiers.
Ces notions doivent être illustrées par des exemples issus des ensembles de nombres, notamment Z, R et C, de l'algèbre linéaire et de la géométrie.
b) Anneaux et corps
Définition d'un anneau (ayant un élément unité).
Définition d'un corps (commutatif).
Ces notions doivent être illustrées par des exemples issus:
- des ensembles de nombres Z, Q, R, C;
- des polynômes et fractions rationnelles.
Anneau Z des nombres entiers, corps Q des nombres rationnels.
Calculs dans un anneau commutatif et dans un corps.
Exemples d'utilisation des notations a1+a2+¼+ap+¼+an, a1a2¼ap¼an, å1 £ p £ nap, Õ1 £ p £ nap.
Suites arithmétiques, suites géométriques. Notations na et an.
Symbole n! (on convient que 0!=1).
Coefficients du binôme ([ n || p]), ou
Relation
|
Somme des n premiers termes d'une suite géométrique.
Brève extension au cas d'éléments qui commutent.
c) Espaces vectoriels
Définition d'un espace vectoriel sur K, définition d'un sous-espace vectoriel, d'une application linéaire, d'une forme linéaire. Composée de deux applications linéaires. Définition d'un isomorphisme, d'un endomorphisme, d'un automorphisme.
L'application réciproque d'une application linéaire bijective est linéaire.
Espace vectoriel F(X,F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel F. Espace vectoriel L(E,F) des applications linéaires de E dans F; linéarité des applications v® v°u et u® v°u.
Ces notions doivent être illustrées par de nombreux exemples, et notamment:
- l'espace vectoriel Kn;
- l'espace vectoriel F(X,K) des applications d'un ensemble X dans K;
- les espaces vectoriels de suites et de fonctions;
- l'espace vectoriel Mn,p(K) des matrices à coefficients dans K à n lignes et p colonnes.
Équations linéaires; noyau et image d'une application linéaire. Description de l'ensemble des solutions de u(x)=b.
Définition des combinaisons linéaires de p vecteurs x1,x2,¼,xp d'un espace vectoriel; image par une application linéaire d'une combinaison linéaire. Définition des relations linéaires entre p vecteurs x1,x2,¼,xp d'un espace vectoriel.
On traite d'abord le cas d'une famille (x1,¼,xp), puis on étend brièvement ces notions au cas des familles finies (xi)i Î I. Le cas des familles indexées par un ensemble infini est hors programme.
Intersection de sous-espaces vectoriels.
Description du sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs.
d) Algèbres
Définition d'une K-algèbre associative unitaire; une telle algèbre est munie d'une structure d'anneau.
Algèbre F(X,K) des applications d'un ensemble X dans le corps K.
Algèbre L(E) des endomorphismes d'un espace vectoriel E; homothéties.
Ces notions doivent être illustrées par des exemples, et notamment:
- la R-algèbre C des nombres complexes;
- l'algèbre K[X] des polynômes à coefficients dans K;
- les algèbres de suites et de fonctions;
- l'algèbre Mn(K) des matrices à coefficients dans K à n lignes et n colonnes.
L'étude générale des algèbres est hors programme.
| 2- Polynômes et fractions rationnelles |
L'objectif est d'étudier, par des méthodes élémentaires, les
propriétés de base des polynômes et des fractions rationnelles, et de les
exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations
algébriques et les fonctions numériques.
Le programme se limite au cas où le corps de base est K, où K désigne R ou C.
On pourra confondre les notions de polynôme et de fonction polynomiale.
a) Algèbre K[X] et corps K(X)
Algèbre K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans K.
Degré d'un polynôme non nul, coefficient dominant, polynôme unitaire (ou normalisé). Degré d'un produit, d'une somme; les polynômes de degré inférieur ou égal à p constituent un sous-espace vectoriel de K[X].
Corps K(X) des fractions rationnelles.
Notation a0+a1 X+¼+ap Xp.
La notation ån=0+¥an Xn n'est pas exigible des étudiants.
Aucune connaissance sur la construction de K[X] et de K(X) n'est exigible des étudiants.
Multiples et diviseurs d'un polynôme, polynômes associés. Division euclidienne dans K[X], algorithme de la division euclidienne.
Ces notions sont à mettre en parallèle avec les notions correspondantes concernant les nombres entiers, qui sont définies et étudiées à cette occasion.
b) Fonctions polynomiales et rationnelles
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Équations algébriques. Zéros (ou racines) d'un polynôme; ordre de multiplicité.
Reste de la division euclidienne d'un polynôme P par X-a; caractérisation des zéros de P.
Algorithme de Horner pour le calcul des valeurs d'une fonction polynomiale.
Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle. Zéros et pôles d'une fraction rationnelle; ordre de multiplicité.
Théorème de d'Alembert-Gauss. Description des polynômes irréductibles de C[X] et de R[X].
La démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss est hors programme.
Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles sur C et sur R.
Décomposition dans C[X] de Xn-1.
Somme et produit des racines d'un polynôme à coefficients complexes.
Définition du polynôme dérivé. Linéarité de la dérivation, dérivée d'un produit. Dérivées successives, dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz). Formule de Taylor, application à la recherche de l'ordre de multiplicité d'un zéro.
Les étudiants doivent connaître les relations
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c) Étude locale d'une fraction rationnelle
Existence et unicité de la partie entière d'une fraction rationnelle R; existence et unicité de la partie polaire de R relative à un pôle a. Lorsque a est un pôle simple de R, expressions de la partie polaire relative à ce pôle.
La démonstration de l'existence et de l'unicité de la partie polaire est hors programme.
Les étudiants doivent savoir calculer la partie polaire en un pôle double. En revanche, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies pour des pôles d'ordre supérieur ou égal à 3. La division des polynômes suivant les puissances croissantes est hors programme.
Lorsque K = C, toute fraction rationnelle R est égale à la somme de sa partie entière et de ses parties polaires. Existence et unicité de la décomposition de R en éléments simples.
Aucune connaissance spécifique sur la décomposition en éléments simples sur R n'est exigible des étudiants.
| Travaux pratiques |
Exemples de recherche de polynômes satisfaisant à des conditions données (interpolation, équations différentielles¼).
Aucune connaissance spécifique sur les méthodes d'interpolation n'est exigible des étudiants.
§ Exemples d'obtention de la décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles.
§ Exemples d'étude d'équations algébriques à coefficients réels ou complexes.
En dehors du cas de zn=a, aucune connaissance spécifique sur les équations d'ordre supérieur ou égal à 3 n'est exigible des étudiants.
§ Pratique de la décomposition en éléments simples dans C(X) d'une fraction rationnelle n'ayant que des pôles simples.
En dehors de ce cas, des indications sur la méthode à suivre doivent être fournies. L'obtention de décompositions en éléments simples n'est pas un objectif en soi; tout excès de technicité sur ce point est à éviter.