Cette partie constitue une première prise de contact avec les fonctions de plusieurs variables; aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions étudiées, et toute technicité est à éviter aussi bien pour la présentation du cours qu'au niveau des exercices et problèmes.

L'objectif, très modeste, est double:

- Étudier quelques notions sur le calcul des dérivées partielles, dans le cadre des fonctions de deux variables réelles.

- Exploiter les résultats obtenus pour l'étude de problèmes, issus notamment des autres disciplines scientifiques.

En vue de l'enseignement de ces disciplines, il convient d'étendre brièvement ces notions aux fonctions de trois variables réelles. Mais, en mathématiques, les seules connaissances exigibles des étudiants ne portent que sur les fonctions de deux variables.

1. Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul différentiel
2. Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul intégral
3. Travaux pratiques

1- Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul différentiel

Les fonctions considérées dans cette partie sont définies sur une partie A de R². Pour la pratique, on se limite aux cas où A est définie par des conditions simples et où les fonctions considérées sont suffisamment régulières.

Pour l'exposé du cours, le programme se limite au cas où A=R².

a) Dérivées partielles premières

Définition des dérivées partielles un un point a, notées D_jf(a) ou [(¶f)/(¶x_j)](a).

Définition du gradient.

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner la notation différentielle df, mais aucune connaissance sur ce point n'est exigible en mathématiques.

Calcul de la dérivée d'une fonction composée d'une variable réelle de la forme t® f(u₁(t), u₂(t)).

Application au calcul des dérivées partielles d'une fonction composée de la forme f°j où j est une application de R² dans R².

En un point de R² où f présente un extremum local, ses dérivées partielles sont nulles.

b) Dérivées partielles d'ordre k ³ 2

Théorème de Schwarz.

La démonstration du théorème de Schwarz, ainsi que tout énoncé concernant les formules de Taylor ou les conditions suffisantes d'existence d'extremums, sont hors programme.

c) Coordonnées polaires

Repère polaire ([u\vec],[v\vec]) du plan euclidien R² défini, pour tout nombre réel q, par:

® u    (q)=  cosq   ® e1   +sinq   ® e2   ,

® v    (q)=-sinq   ® e1   +cosq   ® e2

où ([(e₁)\vec],[(e₂)\vec]) est la base canonique de R².

Coordonnées polaires d'un point de R².

Relations

d  ® u   d q = ® v   ,    d  ® v   d q =- ® u   .

Expression des coordonnées du gradient d'une fonction à valeurs réelles f en fonction des dérivées partielles de la fonction

(r,q)®F(r,q)=f(r cosq,r sinq).

2- Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles: calcul intégral

En vue de l'enseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur les intégrales doubles et triples:

- Intégrales doubles sur une partie bornée définie par des conditions simples.

- Linéarité, croissance, additivité par rapport au domaine d'intégration.

- Exemples de calcul d'intégrales doubles par intégrations successives.

- Brève extension aux intégrales triples.

- Exemples d'applications aux calculs d'aires planes, de volumes, de masses, de centres et de moments d'inertie.

En mathématiques, aucune connaissance sur ces différents points n'est exigible des étudiants.

Travaux pratiques

Exemples de calcul et d'emploi de dérivées partielles.