Dans ce chapitre, le corps des scalaires, noté K est R ou C.
| 1- Espaces vectoriels |
Définition d'une famille libre, d'une famille génératrice en
dimension quelconque.
La notion de somme directe n'est au programme que pour deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie.
Équation linéaire f(x)=b, avec f application linéaire de E vers F de dimensions quelconques.
Cas de l'équation homogène.
Structure des solutions, condition de compatibilité, lien avec kerf et Im f. Étude du cas où b=b1+b2.
Pour l'équation homogène, l'ensemble des solutions est l'espace vectoriel kerf.
Dans le cas général, il est vide si b Ï Im f, et de la forme x0+kerf={x0+x | x Î kerf} si b Î Im f.
| 2- Valeurs propres et vecteurs propres |
Valeurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres,
vecteurs propres.
Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
On convient qu'un vecteur propre est non nul.
Éléments propre d'une homothétie, d'une projection, d'une symétrie.
| 3- Déterminants |
a) Déterminant de n vecteurs dans une base
Définition d'une forme n-linéaire alternée sur un espace de dimension n. Déterminant de n vecteurs dans une base d'un espace vectoriel de dimension n. Caractérisation des bases.
La démonstration de l'existence du déterminant n'est pas exigible des étudiants.
Échange de deux vecteurs.
b) Déterminant d'un endomorphisme
Déterminant d'un endomorphisme, du composé de deux endomorphismes; caractérisation des automorphismes.
c) Déterminant d'une matrice carrée
Déterminant d'une matrice carrée. Déterminant du produit de deux matrices, de la transposée d'une matrice. Développement par rapport à une ligne ou à une colonne.
Matrices carrées semblables, définition, interprétation en terme de changement de base. Deux matrices carrées semblables ont le même déterminant.
Le groupe symétrique n'étant pas au programme, l'expression du déterminant d'une matrice en fonction de ses coefficients n'est pas non plus au programme. Le déterminant d'une matrice carrée est par définition le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique de Kn.
Déterminant d'une matrice de la forme
| ||||||||||||
Ce résultat peut être admis.
| 4- Réduction d'un endomorphisme en dimension finie |
Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d'une valeur propre:
il est minoré par la dimension du sous-espace propre associé.
Endomorphismes diagonalisables (par définition u Î L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u).
Caractérisation (admise) à l'aide des dimensions des sous-espaces propres.
En dimension n, tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique a n racines (distinctes) est diagonalisable.
Quand l'endomorphisme est diagonalisable, on obtient une base de diagonalisation par réunion de bases de chacun des sous-espaces propres.
Trigonalisation d'un endomorphisme u dont le polynôme caractéristique peut s'écrire comme produit de polynômes de degré un: il existe une base telle que la matrice associée à u dans cette base soit triangulaire supérieure (théorème admis). Les étudiants n'ont pas à connaître de méthode pour trouver une telle base.
Mis à part les cas élémentaires (endomorphisme d'un espace de dimension 3 ayant deux valeurs propres distinctes par exemple), tout exercice de trigonalisation doit comporter une indication.
| 5- Réduction des matrices carrées |
Valeurs propres d'une matrice carrée, polynôme caractéristique, vecteurs
propres, sous-espaces propres.
Diagonalisation et trigonalisation des matrices carrées: toute matrice carrée dont le polynôme caractéristique peut s'écrire comme produit de polynômes de degré un est semblable à une matrice triangulaire supérieure (admis).
Les étudiants n'ont pas à connaître de méthode générale de trigonalisation.
| Travaux pratiques |
Exemples de résolutions d'équations linéaires en dimension finie ou non.
Exemples d'études de suites numériques satisfaisant à une relation de récurrence linéaire à coefficients constants de la forme aun+2+bun+1+cun=d.
Exemples de recherche des éléments propres d'un endomorphisme en dimension quelconque, en particulier dans des espaces vectoriels de fonctions.
Exemples de diagonalisation de matrices carrées, exemples simples de réduction à une forme triangulaire.
$ Exemples d'étude du comportement des puissances n-ièmes d'une matrice.