Dans ce chapitre, le corps des scalaires est R.
| 1- Espaces préhilbertiens réels. |
Les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe ne sont pas
nécessairement de dimension finie. On se bornera aux points élémentaires
qui suivent, en liaison avec le programme d'analyse.
Produit scalaire, inégalitÉ de Cauchy-Schwarz, norme.
Théorème de Pythagore.
Définition d'une famille orthonormale.
Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie; distance à un tel sous-espace.
Lorsque l'espace est de dimension finie, existence de bases orthonormales; méthode de Schmidt.
| 2- Espaces euclidiens (c'est-à-dire préhilbertiens réels de dimension finie) |
a) Groupe orthogonal
Définitions d'un automorphisme orthogonal, du groupe orthogonal O(E). Matrices orthogonales, groupe O(n).
On décrira le groupe orthogonal en dimensions 2 et 3 (et seulement dans ces cas).
b) Endomorphismes symétriques
Définition d'un endomorphisme symétrique; matrice associée dans une base orthonormale.
Théorème admis de réduction d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormale.
Diagonalisation d'une matrice symétrique au moyen d'une matrice orthogonale.
c) Formes quadratiques
Définitions d'une forme bilinéaire symétrique sur Rn, d'une forme quadratique sur Rn et de la forme polaire associée.
Sont hors programme toute notion générale sur les formes bilinéaires, et les notions de rang et de signature d'une forme quadratique.
Matrice d'une forme bilinéaire symétrique (resp. d'une forme quadratique) dans une base orthonormale.
On reliera l'étude des formes quadratiques à celle de la matrice de l'opérateur d'inertie d'un solide, qui figure au programme de mécanique.
Réduction d'une forme quadratique dans une base orthonormale.
La réduction d'une forme quadratique dans une base non orthonormale est hors programme.
| Travaux pratiques |
Exemples de diagonalisation d'une matrice symétrique dans une base orthonormale.
Recherche de l'équation réduite et des axes d'une conique ou d'une quadrique dont un centre de symétrie est donné.
Exemples de calcul de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie et de la distance à un tel sous-espace.