Les fonctions étudiées dans cette partie sont définies sur un intervalle de R\ non réduit à un point et à valeurs réelles ou complexes. Les propriétés élémentaires des dérivées et des intégrales ont été étudiées en première année; à travers la résolution d'exercices et de problèmes on s'assurera que les étudiants les ont bien assimilées.

1. Fonctions de classe C^k
2. Dérivation et intégration sur un segment
3. Intégrales dépendant d'un paramètre
4. Intégrales impropres
5. Travaux pratiques

1- Fonctions de classe Ck (k entier naturel ou k infini).

La composée de deux fonctions de classe C^k est une fonction de classe C^k.

La notion de C^k-difféomorphisme est hors programme.

Définition des fonctions de classe C¹ par morceaux: une fonction f définie sur le segment [a,b] est dite de classe C¹ par morceaux sur le segment [a,b] s'il existe une suite finie strictement croissante a₀=a < a₁ < ... < a_n=b telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]a_i,a_i+1[ est prolongeable en une fonction de classe C¹ sur [a_i,a_i+1].

Opérations sur les fonctions de classe C¹ par morceaux définies sur le segment [a, b].

Par extension, une fonction f définie sur R et T-périodique est dite de classe C¹ par morceaux si sa restriction à un intervalle de la forme [a,a+T] est de classe C¹ par morceaux.

2- Dérivation et intégration sur un segment

Le programme est placé dans le cadre des fonctions continues par morceaux. La plupart des résultats ont été vus en première année pour les fonctions à valeurs réelles, et sont étendues aux fonctions à valeurs complexes.

a) Intégration

Linéarité, croissance. Inégalité |ò_[a,b] f| £ ò_[a,b] |f|.

Inégalité de la moyenne : |ò_[a,b] f| £ (b-a) sup_[a,b]|f| .

Relation de Chasles.

Inégalité de Cauchy-Schwarz en liaison avec les espaces préhilbertiens.

Seulement pour les fonctions à valeurs réelles.

b) Dérivation et intégration

Intégration par parties, changement de variable.

Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C¹:

si |f¢| £ k, alors |f(b)-f(a)| £ k|b-a|.

Pour une fonction de classe C^p+1 sur I, formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre p en un point a de I. Majoration du reste: inégalité de Taylor-Lagrange.

Existence d'un développement limité à l'ordre p pour une fonction de classe C^p : formule de Taylor-Young.

3- Intégrales dépendant d'un paramètre

Toutes les démonstrations des résultats de ce paragraphe sont hors programme.

a) Continuité

Continuitésous le signe ò: soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur A×[a,b], où A est un intervalle de R. Alors la fonction g définie sur A par la relation g(x)=ò_a^bf(x,t) dt est continue sur A.

b) Dérivation

Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): lorsque f est continue sur A×[a,b] et admet une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] continue sur A×[a,b], alors g est de classe C¹ sur A, et

g¢(x)= ó õ b a  ¶f ¶x  (x,t) dt.

Extension aux fonctions de classe C^k.

c) Intégration

Intégration sous le signe ò (formule de Fubini): lorsque f est continue sur A×[a,b], alors pour tout segment [c,d] inclus dans A

ó õ d c  é ë ó õ b a  f(x,t) dt ù û  dx= ó õ b a  é ë ó õ d c  f(x,t) dx ù û  dt.

La formule de Fubini est à relier à la notion d'intégrale double abordée en classe de première année.

4- Intégrales impropres

Pour ce qui concerne les intégrales impropres (ou généralisées), l'objectif du programme est la maîtrise de la convergence absolue de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle non fermé ou non borné. Le programme part de la définition générale de la convergence, en raison de la simplicité de la présentation, mais l'étude de la semi-convergence des intégrales n'est pas un objectif du programme.

a) Définition d'une intégrale convergente

Si f est une application continue sur [a,b[ l'intégrale ò_a^b f(t) dt est convergente si ò_a^x f(t) dt a une limite finie lorsque x tend vers b, en restant dans [a,b[.

On aura soin de distinguer, dans la présentation, le cas où f est une fonction continue non bornée sur un intervalle [a,b[ borné, et le cas où l'intervalle est non borné (du type [a,+¥[ par exemple).

Définition des intégrales divergentes.

Nature des intégrales:

ó õ +¥ 1  dt ta     et\ ó õ 1 0  dt ta , où a Î R

ó õ 1 0  lnt dt,    et  ó õ +¥ 0  e-at dt, où a Î R+*

b) Intégrales des fonctions positives

Relations entre la convergence ou la divergence des intégrales de f et de g, dans le cas où f £ g, et dans le cas où f ~ g.

c) Intégrales absolument convergentes

Définition d'une intégrale absolument convergente.

Toute intégrale absolument convergente est convergente.

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible.

d) Intégrales dépendant d'un paramètre

L'objectif est d'étendre les théorèmes de continuitéet de dérivation sous le signe ò, déjà étudiés sur un segment, au cas d'un intervalle I quelconque dont l'origine et l'extrémité(prises dans [`(R)]) sont notées a et b. Les démonstrations de ces théorèmes sont hors programme.

Continuitésous le signe ò: soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes continue sur A×I, où A est un intervalle de R telle que, pour tout élément x de A, la fonction t® f(x,t) ait une intégrale absolument convergente sur I, et j une fonction continue positive dont l'intégrale sur I est convergente. Alors si pour tout élément (x,t) de A×I |f(x,t)| £ j(t) (hypothèse de domination), la fonction g définie sur A par la relation g(x)=ò_a^bf(x,t) dt est continue sur A.

Dérivation sous le signe ò (formule de Leibniz): soit A un intervalle de R et f une fonction vérifiant les hypothèses du théorème précédent et admettant une dérivée partielle [(¶f)/(¶x)] vérifiant elle aussi ces mêmes hypothèses. Alors g est de classe C¹ sur A, et

g¢(x)= ó õ b a  ¶f ¶x  (x,t) dt.

Extension aux fonctions de classe C^k.

Travaux pratiques

Exemples d'étude de la convergence absolue d'intégrales impropres de fonctions continues.

$ Exemples de calculs de valeurs exactes ou approchées d'intégrales et d'intégrales impropres.

$ * Exemples d'étude de fonctions de la forme x ®ò_a^xf(t) dt (avec f continue).