1. Séries de nombres réels ou complexes
2. Séries entières
4. Séries de Fourier
5. Travaux pratiques

1- Séries de nombres réels ou complexes

Comme pour les intégrales impropres, l'objectif est ici l'étude de la convergence absolue des séries à termes réels ou complexes. L'étude de la semi-convergence est limitée aux séries réelles alternées par utilisation de la règle spéciale.

a) Convergence

Séries convergentes, séries divergentes. Convergence des séries géométriques.

Lien entre suite et série: la suite (u_n) converge si et seulement si la série å(u_n+1-u_n) converge.

b) Séries à termes réels positifs

Comparaison à une intégrale impropre.

Convergence des séries de Riemann.

Comparaison des convergences de åu_n et åv_n dans le cas où u_n £ v_n et dans le cas où u_n ~ v_n.

Application au cas où l'une des deux séries est une série de Riemann.

La règle ``n^a u_n'' est hors programme.

Comparaison à une série géométrique; règle de d'Alembert.

Toute autre règle de convergence, en particulier la règle dite de Cauchy (utilisant Ö[ n ]u_n ) est hors programme.

c) Convergence absolue

Séries absolument convergentes.

Toute série absolument convergente est convergente.

La démonstration de ce résultat n'est pas exigible.

d) Séries alternées

Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers zéro; encadrement de la somme et du reste.

On peut encadrer la somme d'une telle série par deux sommes partielles consécutives. Pour le reste de la série, son premier terme donne le signe et un majorant en valeur absolue.

e) Opérations

Somme de deux séries, produit d'une série par un scalaire.

La notion de série produit est hors programme.

2- Séries entières

Les séries entières considérées dans ce paragraphe sont à coefficients réels ou complexes.

a) Convergence d'une série entière

Définition des séries entières d'une variable complexe.

Étude de la convergence: rayon de convergence, disque (ouvert) de convergence.

Toute étude systématique de la convergence sur le cercle est exclue.

b) Somme d'une série entière d'une variable réelle

Intervalle de convergence.

Propriétés (admises) de la fonction somme d'une série entière sur l'intervalle ouvert de convergence: continuité, dérivation et intégration terme à terme (avec conservation du rayon de convergence).

De plus, on admettra que si le rayon de convergence R est un réel strictement positif, et si la série å_n=0^¥ a_n xⁿ converge pour x=R (resp. pour x=-R), la somme est continue sur [0, R] (resp. [-R, 0]).

Développement en série entière de

[1/(1+x)], ln(1+x), e^x, cosx, sinx, chx, shx et (1+x)^a, où a est réel.

Seuls ces exemples sont à connaître.

c) Exponentielle complexe

Expression (admise), pour z complexe, de expz (ou e^z) comme somme de la série entière å_n=0^¥ [(zⁿ)/n!].

On peut admettre la cohérence avec la définition donnée en première année.

4- Séries de Fourier

Les séries de Fourier sont présentées dans le cadre des fonctions numériques T-périodiques continues par morceaux (T est un nombre réel strictement positif, et on pose w = [(2p)/T]). L'interprétation géométrique des séries de Fourier sera donnée dans le cadre de l'espace vectoriel C_T(R) des fonctions continues de R dans R et T-périodiques.

a) Définitions

Coefficients de Fourier d'une fonction T-périodique f définie de R dans R et continue par morceaux (expression en cosinus et sinus, en posant w = [(2p)/T]), sommes partielles

Sn(f)(t) = a0(f)+ n å k=1  æ è ak(f) cos(kwt)+bk(f) sin(kwt) ö ø

de la série de Fourier d'une telle fonction.

Dans certains cas, on peut simplifier les calculs en définissant pour n Î N, n > 0:

cn(f)= 1 2 æ è an(f)-ibn(f) ö ø

c-n(f)= 1 2 æ è an(f)+ibn(f) ö ø ,

et c0(f)=a0(f),

mais aucune formule relative à la forme exponentielle des coefficients de Fourier n'est exigible.

Dans l'espace vectoriel C_T(R) des applications T-périodiques continues de R dans R, produit scalaire

(f,g)® 1 T ó õ T 0  f(t)g(t) dt,

norme associée.

Dans cet espace, les fonctions t®cos(nwt) pour n décrivant N, et t®sin(nwt) pour n décrivant N^* forment une famille orthogonale.

Dans ce cadre, on donnera l'interprétation de S_n(f) comme projection orthogonale de f.

b) Formule de Parseval

Théorème de Parseval (admis): convergence et expression

1 T   ó õ T 0  |f(t)|2 dt=|a0(f)|2 + 1 2 ¥ å n=1  |an(f)|2+|bn(f)|2.

On donnera l'interprétation géométrique du théorème de Parseval dans l'espace C_T(R).

c) Convergence d'une série de Fourier

Théorème de Dirichlet (admis): pour une fonction T-périodique f définie sur R et de classe C¹ par morceaux, lorsque n tend vers l'infini, les sommes de Fourier S_n(f)(t) convergent en tout t réel, vers [(f(t+0)+f(t-0))/2], demi-somme des limites à droite et à gauche de f au point t.

Si f est continue et de classe C¹ par morceaux, lorsque n tend vers l'infini, les sommes de Fourier S_n(f)(t) convergent en tout t réel, vers f(t). De plus, les séries å|a_n(f)| et å|b_n(f)| sont convergentes.

Dans ces hypothèses, on admet que pour tous a et b réels, ò_a^bf(t) dt s'obtient en intégrant terme à terme la série de Fourier de f.

Travaux pratiques

Exemples d'encadrements du reste d'une série convergente, des sommes partielles d'une série divergente.

$ Exemples de recherche de valeurs approchées de la somme d'une série convergente.

Exemples d'étude de fonctions définies par une série entière.

Exemples de recherche de développements en série entière ou en série de Fourier de fonctions d'une variable réelle.

$ Exemples d'utilisation de tels développements pour obtenir des valeurs approchées d'une fonction.

Exemples d'emploi de séries entières pour la recherche de solutions d'équations différentielles.