En dehors des cas explicitement énumérés par les programmes de première et de seconde année, tout exercice d'intégration d'une équation différentielle devra comporter l'indication d'une méthode.

1. Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficients constants
2. Équations linéaires d'ordre 2
3. Notions sur les équations différentielles non linéaires
4. Travaux pratiques

1- Système linéaire d'ordre 1 à coefficients constants

Etude du système X¢=AX, où A est une matrice de taille n diagonalisable ou triangulaire à éléments réels ou complexes; existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée.

L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n. On donnera la forme des solutions dans le cas où la matrice A est diagonalisable (et seulement dans ce cas).

2- Equations linéaires d'ordre 2

Existence et unicité de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée (théorème admis). Dimension de l'espace vectoriel des solutions de l'équation sans second membre (résultat admis).

Résolution dans le cas où l'on connaît une solution ne s'annulant pas de l'équation sans second membre associée.

On considère les équations différentielles de la forme

a(x)y¢¢+b(x)y¢+c(x)y=f(x),

les fonctions a, b, c, f étant continues sur un intervalle I de R, sur lequel a ne s'annule pas.

3- Notions sur les équations différentielles non linéaires

Définition d'une solution sur un intervalle de l'équation différentielle x¢=f(t,x), d'une solution satisfaisant à une condition initiale donnée. Interprétation graphique.

Équations différentielles à variables séparables; cas particulier des équations incomplètes du premier ordre.

On introduira sur des exemples la notion de courbe intégrale d'une équation différentielle: on ne soulèvera aucune difficulté à ce sujet.

Définition d'un système autonome de deux équations différentielles du premier ordre:

ì ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï î dx dt =j(x,y) dy dt =y(x,y)

et de ses trajectoires, dans le cas où j et y sont de classe C¹ sur un ouvert W de R².

Tout théorème d'existence et unicité des trajectoires d'un système autonome est hors programme.

Travaux pratiques

Résolution de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants de la forme X¢=AX dans le cas où la matrice A est diagonalisable ou trigonalisable.

$ Algorithme de recherche de solutions approchées d'une équation différentielle scalaire d'ordre 1 ou d'un système autonome de deux équations différentielles d'ordre 1 par la méthode d'Euler.

Exemples d'utilisation de changements de variable ou de fonction.

Exemples de transformation d'une équation différentielle du premier ordre en un système autonome de deux équations.

$ * Exemple de construction de courbes intégrales d'une équation différentielle, de trajectoires d'un système autonome de deux équations différentielles d'ordre 1. On se limitera à des exemples simples principalement issus de la physique ou des sciences industrielles.

Exemples simples d'utilisation d'une intégrale première.

Exemples d'étude de problèmes issus de la mécanique ou de la physique conduisant à une équation différentielle du premier ou du second ordre.