Les applications considérées dans ce chapitre sont définies sur une partie de Rⁿ et à valeurs dans R^p. On se limitera aux cas où n £ 3 et p £ 3.

Les étudiants doivent connaître les notions suivantes: définition d'une norme sur un espace vectoriel réel ou complexe, distance associée, boules, parties bornées, convergence d'une suite. En revanche, mis à part le cas de Rⁿ euclidien, le langage des ouverts et des fermés n'est pas au programme, et la continuité n'est traitée que pour les fonctions de plusieurs variables réelles à valeurs dans R^p.

1. Espace Rⁿ, fonctions continues
2. Calcul différentiel
3. Calcul intégral
4. Travaux pratiques

1- Espace Rn, fonctions continues

a) Espace vectoriel normé Rⁿ

Norme et distance euclidiennes. Définitions des boules, des parties ouvertes, des parties fermées, des parties bornées.

Limite d'une suite d'éléments de R^p; caractérisation à l'aide des suites coordonnées. Opérations algébriques sur les limites.

Toute suite convergente est bornée.

b) Fonctions d'une variable réelle à valeurs dans R^p

Espace vectoriel des fonctions définies sur une partie de R et à valeurs dans R^p. Fonctions bornées.

Limite et continuité ; caractérisations à l'aide des fonctions coordonnées. Opérations algébriques sur les limites.

c) Fonctions continues de n variables réelles à valeurs réelles

Algèbre des fonctions définies sur une partie A de Rⁿ et à valeurs réelles. Fonctions bornées sur une partie A.

Limite et continuité en un point.

La notion de continuité partielle est hors programme.

Algèbre des fonctions continues sur A.

Toute fonction continue sur une partie fermée bornée est bornée et atteint ses bornes (théorème admis).

d) Extension aux fonctions de n variables réelles à valeurs dans R^p

Caractérisation de la limite, de la continuité à l'aide des fonctions coordonnées.

Image d'une suite convergente par une fonction continue.

La composée de deux applications continues est continue.

2- Calcul différentiel

L'objectif est d'aboutir à une bonne maîtrise de quelques problèmes usuels à partir d'un minimum d'outils théoriques. En particulier la notion d'application différentiable est hors programme et, comme en première année, les applications de classe C¹ seront définies à partir des dérivées partielles.

Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont définies sur un ouvert de Rⁿ et à valeurs dans R^p. Rappelons que n et p sont des entiers £ 3.

a) Dérivées partielles des fonctions de n variables réelles à valeurs réelles

Dérivée de f définie sur un ouvert U suivant un vecteur en un point. Dérivées partielles premières. Définition des fonctions de classe C¹. Développement limité à l'ordre 1 d'une fonction de classe C¹; différentielle en un point. Gradient. Algèbre C¹(U,R) des fonctions de classe C¹.

Dérivée d'une fonction composée de l'un des deux types suivants:

x® f(u(x),v(x)),

(x,y)® f(u(x,y),v(x,y)).

On utilisera la notation différentielle:

df= ¶f ¶x  dx+ ¶f ¶y  dy

(pour deux variables par exemple)

très commode pour le calcul de la différentielle d'une fonction composée.

Dérivées partielles d'ordre k > 1. Théorème de Schwarz (admis). Algèbre C^k(U,R) des fonctions de classe C^k sur U.

Pour une fonction numérique de classe C² sur un ouvert de R², formule (admise) de Taylor-Young d'ordre 2.

Condition nécessaire d'existence d'un extrémum local pour une fonction de C¹(U,R). Pour une fonction numérique de classe C² sur un ouvert de R², étude de l'existence d'un extrémum local en un point critique où rt-s²\not = 0 (démonstration non exigible).

On donnera l'interprétation géométrique de cette étude.

b) Fonctions d'une variable réelle à valeurs dans R^p

Dérivées successives d'une fonction d'une variable réelle à valeurs dans R^p; caractérisation à l'aide des fonctions coordonnées. Espace vectoriel C^k(I,R^p).

Développement limité à l'ordre m au voisinage d'un point; caractérisation à l'aide des fonctions coordonnées. Existence d'un développement limité à l'ordre k pour une fonction de classe C^k : formule de Taylor-Young.

Dérivées k-ième du produit d'une fonction d'une variable à valeurs dans R  de classe C^k par une fonction d'une variable à valeurs dans R^p de classe C^k.

Produit scalaire, produit vectoriel de deux fonctions de C^k(I,R^p), expression des dérivées (p=2 ou 3).

Formule de Leibniz pour les fonctions du type:

x®l(x) U(x),

x® U(x).V(x), et x® U(x)ÙV(x),

où l Î C^k(I,R) et U,V Î C^k(I,R^p) .

c) Fonctions de n variables réelles à valeurs dans R^p

Dérivées partielles premières, fonctions de classe C¹; caractérisations à l'aide des fonctions coordonnées.

Différentielle en un point, matrice jacobienne, jacobien d'une fonction de classe C¹. La composée de deux fonctions de classe C¹ est de classe C¹. Matrice jacobienne d'une fonction composée, d'une fonction réciproque.

3- Calcul intégral

Tous les résultats de ce paragraphe sont admis. Le programme se limite au cas des fonctions continues sur une partie fermée bornée. Aucune connaissance n'est exigible sur la définition et la construction de l'intégrale. Tous les résultats sont admis.

a) Intégrales doubles

Linéarité, croissance, additivité par rapports aux ensembles.

Théorème de Fubini.

Changement de variables : cas du passage en coordonnées polaires.

b) Extension aux intégrales triples

Passage en coordonnées cylindriques ou sphériques.

Travaux pratiques

Exemples de calcul de dérivées partielles.

Exemples de recherche d'extrémums locaux ou globaux.

Exemples de calculs d'intégrales doubles ou triples.

Expression, sur des exemples, du gradient en coordonnées polaires, cylindriques, sphériques.