Comme en première année, l'étude théorique est placée dans des hypothèses
très larges. Aucune difficulté théorique ne peut être soulevée sur les notions
étudiées dans ce chapitre.
| 1- Courbes du plan, de l'espace |
Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle I
de R et à valeurs selon les cas dans R, dans le plan euclidien R2 ou l'espace
euclidien R3, et de classe Ck, où 1 £ k £ ¥.
Cette partie complète l'étude faite en première année des courbes du plan.
a) Étude locale d'une courbe paramétrée
Définition des demi-tangentes en un point A (le vecteur unitaire associé à [( ®) || AM] admet une limite), de la tangente en un point A. Existence d'une tangente en un point régulier; vecteur unitaire [( ®) || T] de la tangente à un arc orienté.
Cas d'un point où l'un au moins des vecteurs dérivés successifs est non nul.
L'étude locale en un point où tous les vecteurs dérivés successifs sont nuls est hors programme
En dimension 2, position locale de la courbe par rapport à sa tangente en un point birégulier (concavité), en un point non birégulier (inflexions, rebroussements).
En dimension 2, branches infinies: directions asymptotiques, asymptotes. Position locale de la courbe par rapport à l'une de ses asymptotes.
b) Modes de définition d'une courbe plane
Courbe G définie par une représentation cartésienne
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Courbe définie par une représentation paramétrique:
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Calcul des coordonnées de la vitesse et de l'accélération dans le repère polaire.
Vecteurs directeurs de la tangente et de la normale en un point d'une ligne de niveau F(x,y)=l.
Courbe définie par une équation polaire q®r(q) où r est de classe Ck et à valeurs réelles. Expression dans le repère polaire de vecteurs directeurs de la tangente et de la normale, calcul de tan(V) si M\not = O.
Asymptote obtenue à l'aide limq®q0r(q)sin(q-q0).
Les seules connaissances spécifiques exigibles des étudiants concernant l'étude de courbes définies par une équation polaire sont celles indiquées ci-contre.
Équation polaire d'une droite ne passant pas par O, d'un cercle passant par O, d'une conique de foyer O.
c) Propriétés métriques des courbes planes paramétrées
Longueur d'un arc régulier, abscisse curviligne, repère de Frenet ([( ®) || T],[( ®) || N]). Représentation normale d'un arc.
On ne soulèvera aucune difficulté théorique.
Si f est de classe Ck sur I, où 2 £ k £ ¥, et t® M=f(t) définit un arc régulier, il existe une fonction a de classe Ck-1 sur I telle que, pour tout t Î I, [( ®) || T]=[u\vec](a(t)) où ([u\vec](q),[v\vec](q)) désigne le repère polaire.
La démonstration de ce résultat est hors programme.
Relations:
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Définition de la courbure par g = [(da)/ds], du rayon de courbure; caractérisation des points biréguliers.
Relations de Frenet: [(d[( ®) || T])/ds]=g[( ®) || N], [(d[( ®) || N])/ds]=-g[( ®) || T].
Les étudiants doivent connaître l'expression de la courbure en un point régulier M=f(t):
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Rayon de courbure, centre de courbure, cercle de courbure (ou osculateur).
Calcul des coordonnées de la vitesse et de l'accélération dans le repère de Frenet.
La définition d'une développée est hors programme.
d) Propriétés métriques des courbes paramétrées de l'espace
Extension des notions d'abscisse curviligne, de longueur d'un arc.
Les notions de plan osculateur, de repère de Frenet, courbure et torsion sont hors programme.
| 2- Surfaces |
Les fonctions considérées, définies sur un ouvert U
de R2 et à valeurs dans R ou dans l'espace euclidien R3, sont de classe
Ck, où 1 £ k £ ¥.
a) Surfaces paramétrées, plan tangent
Surfaces paramétrées (ou nappes paramétrées) de classe Ck. Point régulier, plan tangent, normale.
b) Modes de définition d'une surface
Surface définie par une représentation paramétrique
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Surface S définie par une paramétrisation cartésienne:
une des coordonnées est une fonction de classe Ck des deux autres.
Position d'une surface donnée par une représentation cartésienne z=f(x,y) par rapport au plan tangent en un point où rt-s2 ¹ 0.
Surface définie par une équation F(x,y,z)=0, où F est une application de classe Ck, (1 £ k £ ¥), d'un ouvert U de R3 dans R. Plan tangent en un point où le gradient est non nul.
Vecteurs directeurs de la normale en un point d'une ligne de niveau F(x,y,z)=l.
Tangente à la courbe d'intersection de deux surfaces
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c) Description de surfaces
Description des cylindres (génératrices, directrices, sections droites), des cônes (sommet, génératrices, directrices), des surfaces de révolution (axe, méridiennes, parallèles, directrices). Plans tangents aux surfaces précédentes.
Description des quadriques à partir de leurs équations réduites en repère orthonormal (ellipsoïde, hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes, paraboloïde hyperbolique).
| Travaux pratiques |
Emploi des coordonnées polaires, cylindriques et sphériques.
$ * Exemples de construction de courbes planes données par une équation cartésienne, des équations paramétriques, une représentation polaire.
$ * Exemples de représentation de courbes gauches par projection sur des plans de coordonnées.
* Exemples simples de recherche de courbes planes ou de courbes d'une surface satisfaisant à une condition différentielle (trajectoires orthogonales, lignes de plus grande pente, contours apparents cylindriques et coniques).
Exemples de génération de surfaces, de recherche de paramétrages ou de mise en équation dans un repère adéquat.
* Exemples d'étude de familles de sections planes d'une surface.
$ * Exemples de représentation d'une surface à l'aide de familles de courbes tracées sur la surface.
Exemples de recherche de l'intersection de deux surfaces et de la projection de cette intersection sur un plan de coordonnées. Les critères de décomposition d'une telle intersection sont en dehors du programme.